Kocka a dve pohybujúce sa body
Dobrý den, potřebuji pomoci s následujícím úkolem:
Je dána krychle A-H. V čase t = 0 se bod X začne pohybovat po úhlopříčce stěny BG z bodu B do bodu G rychlostí √2√2. Podobně se v čase t = 0 začne bod Y pohybovat po tělesové úhlopříčce HB z bodu H do bodu B rychlostí √3√3. Zjistěte, ve kterém bodě bude úsečka XY nejkratší a jaká bude její minimální délka.
Děkuji mnohokrát.
Otto D.
25. 03. 2022 15:24
5 odpovědí
Špatná otázka, otázka by neměla znít v jakém bodě, ale v jakém okamžiku. Ospravedlnuji se za chybu.
Ahoj Otto, je to nádherná úloha. Natočím na to videjko, už si ho připravuju. Marek
Ahoj,
jestli jste se učili derivovat, postupoval bych takto:
Zvolím soustavu souřadnic s počátkem v bodě A, osu xx ve směru AB, osu yy ve směru AD, osu zz ve směru AE.
Obě úsečky zapíšu parametricky (parametrem bude čas). Hranu krychle označím aa. Na začátku je t=0t=0, na konci t=1t=1.
Ze zadání je patrné, že oba pohybující se body přejdou z jednoho krajního bodu úsečky do druhého za stejnou dobu (např. budou ve stejnou dobu v polovině úseček).
Můžu tedy v každém okamžiku určit jejich vzdálenost dd (dále pro zjednodušení zvolím a=1a=1). Dostanu funkci, kde vzdálenost dd závisí na času tt. Funkci derivuji a derivaci položím rovnu nule (hledám extrém). Z této rovnice vypočítám čas tt, kdy jsou body nejblíže.
Jojo, přesně takhle bych na to šel, ale vzhledem k tomu, že to Otto dal do kategorie střední škola, tak nevím,jestli můžeme používat derivace (někde se to probírá na SŠ, někde ne). Každopádně ta funkce, která popisuje vzdálenost je odmocnina z kvadratické funkce a její minimum se dá najít i bez derivace.
Ahoj Otto.
To, co ti radí předřečníci bude jistě fungovat, ale není nutné problém řešit v prostoru.
Budu předpokládat, že krychle má délku hrany aa. Když si nakreslíš trojúhelník BGH (obrázek), tak |BX|=√2t, |BY|=√3a−√3t a cosα=√23. Označíš |XY|=d.
Podle kosinové věty platí:
d2=(√2t)2+(√3a−√3t)2−2√2t(√3a−√3t)⋅√23=9t2−10at+3a2
=9(t2−109at+2581a2−2581a2+13a2)=9[(t−59a)2+281a2]
Takže nejmenší vzdálenost bude dmin=√23a v čase t=59a.