Kocka a dve pohybujúce sa body

Dobrý den, potřebuji pomoci s následujícím úkolem:

Je dána krychle A-H. V čase t = 0 se bod X začne pohybovat po úhlopříčce stěny BG z bodu B do bodu G rychlostí 22. Podobně se v čase t = 0 začne bod Y pohybovat po tělesové úhlopříčce HB z bodu H do bodu B rychlostí 33. Zjistěte, ve kterém bodě bude úsečka XY nejkratší a jaká bude její minimální délka.

Děkuji mnohokrát.

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Stereometrie
Otto D.

Otto D.

25. 03. 2022   15:24

5 odpovědí

Otto D.
Otto D.
25.03.2022 15:29:53

Špatná otázka, otázka by neměla znít v jakém bodě, ale v jakém okamžiku. Ospravedlnuji se za chybu.

Marek V.
Marek V.
27.03.2022 11:50:55

Ahoj Otto, je to nádherná úloha. Natočím na to videjko, už si ho připravuju. Marek

Robin P.
Robin P.
27.03.2022 11:54:31

Ahoj,

jestli jste se učili derivovat, postupoval bych takto:

Zvolím soustavu souřadnic s počátkem v bodě A, osu xx ve směru AB, osu yy ve směru AD, osu zz ve směru AE.

Obě úsečky zapíšu parametricky (parametrem bude čas). Hranu krychle označím aa. Na začátku je t=0t=0, na konci t=1t=1.

Ze zadání je patrné, že oba pohybující se body přejdou z jednoho krajního bodu úsečky do druhého za stejnou dobu (např. budou ve stejnou dobu v polovině úseček).

Můžu tedy v každém okamžiku určit jejich vzdálenost dd (dále pro zjednodušení zvolím a=1a=1). Dostanu funkci, kde vzdálenost dd závisí na času tt. Funkci derivuji a derivaci položím rovnu nule (hledám extrém). Z této rovnice vypočítám čas tt, kdy jsou body nejblíže.

Marek V.
Marek V.
27.03.2022 12:08:16

Jojo, přesně takhle bych na to šel, ale vzhledem k tomu, že to Otto dal do kategorie střední škola, tak nevím,jestli můžeme používat derivace (někde se to probírá na SŠ, někde ne). Každopádně ta funkce, která popisuje vzdálenost je odmocnina z kvadratické funkce a její minimum se dá najít i bez derivace.

Zeněk R.
Zeněk R.
31.03.2022 10:56:23

Ahoj Otto.

To, co ti radí předřečníci bude jistě fungovat, ale není nutné problém řešit v prostoru.

Budu předpokládat, že krychle má délku hrany aa. Když si nakreslíš trojúhelník BGH (obrázek), tak |BX|=2t, |BY|=3a3t a cosα=23. Označíš |XY|=d.

Podle kosinové věty platí:

d2=(2t)2+(3a3t)222t(3a3t)23=9t210at+3a2

=9(t2109at+2581a22581a2+13a2)=9[(t59a)2+281a2]

Takže nejmenší vzdálenost bude dmin=23a v čase t=59a.

Příloha ke komentáři
Souhlasí: 1    
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.