Osmiboký hranol

Přeji pěkný večer, Martino,

pravidelný osmiboký hranol je prostorový útvar, jehož podstavu tvoří pravidelný osmiúhelník.

Pokud víme, že největší vzdálenost mezi dvěma vrcholy v podstavě činí $16$ $m$, snadno lze určit, že vzdálenost od vrcholu podstavy ke středu postavy je $8$ $m$.

Podstava je tedy tvořena z osmi rovnoramených trojúhelníků, jejichž základna má stranu $a$, obě ramena mají délku $8$ $m$ a úhel, jenž ramena svírají, činí jednu osminu celého úhlu, tedy $\frac{ 2 \cdot \pi} { 8}$ = $\frac{ \pi} { 4}$ $rad$.

Z cosinovy věty plyne, že platí vztah:

$a^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(\frac{ \pi} { 4} )$

$a^2 = 128 - 128 \cdot \frac{ \sqrt{ 2} } { 2}$

$a = \sqrt{ 128 \cdot (\frac{ 2 - \sqrt{ 2} } { 2} )}$

$a = 8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} }$ $m$

Z cosinovy věty rovněž plyne, že výška $v$ tohoto trojúhelníku, která je kolmá na základnu, má délku

$v = \sqrt{ 8^2 - \Big(\frac{ a} { 2} \Big)^2}$

$v = \sqrt{ 64 - 16 \cdot (2 - \sqrt{ 2} )}$

$v = 4 \cdot \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2} }$ $m$

Obsah tohoto trojúhelníku tedy činí:

$S = \frac{ a \cdot v} { 2} = \frac{ (4 \cdot \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2} } )\cdot (8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 2} = 16 \cdot \sqrt{ (2 + \sqrt{ 2} ) \cdot (2 - \sqrt{ 2} )} = 16 \cdot \sqrt{ 2}$ $m^2$.

Podstava je tvořena osmi takovými trojúhelníky a výška hranolu činí $17$ $m$, tedy

$V = 16 \cdot \sqrt{ 2} \cdot 8 \cdot 17 = 2176 \cdot \sqrt{ 2}$ $m^3$

Co se týče plochy, stačí sečíst obsah podstavy a obsah stěn.

$S_0 = S_{ podstavy} + 8 \cdot S_{ sten}$

$S_0 = 128 \cdot \sqrt{ 2} + 8 \cdot a \cdot 17 = 128 \cdot \sqrt{ 2} + 8 \cdot (8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } ) \cdot 17$

$S_0 = 64 \cdot (2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )$ $m^3$

Pokud chcete zjistit, kolik kbelíků barvy je třeba na natření, jednoduše vydělte obsah $6$ a zaokrouhlete nahoru.

K natření je potřeba přesně $\left \lceil{ \frac{ 32 \cdot (2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 3} } \right \rceil$ kbelíků barvy.

Pardon, nevšiml jsem si, že ty plechovky jsou pětilitrové, na konci tedy místo $6$ dělte $30$, tedy je třeba $\left \lceil{ \frac{ 32\cdot(2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 15} } \right \rceil$ kbelíků barvy.