Osmiboký hranol
Dobrý den, nevím si rady s tímto příkladem :
Nádrž má tvar pravidelného osmibokého hranolu, přičemž největší vzdálenost mezi dvěma vrcholy v podstavě je 16 m a výška nádrže je 17 m.
a) Jaký má tato nádrž objem? (výsledek zapište v m³)
b) Kolik pětilitrových plechovek antikorozního nátěru je potřeba na natření dna a boků, když 1 litr nátěru vystačí na 6 m² plochy?
Byla bych opravdu moc vděčná za pomoc, děkuji předem!
Martina D.
21. 02. 2021 19:37
2 odpovědi
Přeji pěkný večer, Martino,
pravidelný osmiboký hranol je prostorový útvar, jehož podstavu tvoří pravidelný osmiúhelník.
Pokud víme, že největší vzdálenost mezi dvěma vrcholy v podstavě činí \(16\) \(m\), snadno lze určit, že vzdálenost od vrcholu podstavy ke středu postavy je \(8\) \(m\).
Podstava je tedy tvořena z osmi rovnoramených trojúhelníků, jejichž základna má stranu \(a\), obě ramena mají délku \(8\) \(m\) a úhel, jenž ramena svírají, činí jednu osminu celého úhlu, tedy \(\frac{ 2 \cdot \pi} { 8} \) = \(\frac{ \pi} { 4} \) \(rad\).
Z cosinovy věty plyne, že platí vztah:
\(a^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(\frac{ \pi} { 4} )\)
\(a^2 = 128 - 128 \cdot \frac{ \sqrt{ 2} } { 2} \)
\(a = \sqrt{ 128 \cdot (\frac{ 2 - \sqrt{ 2} } { 2} )} \)
\(a = 8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } \) \(m\)
Z cosinovy věty rovněž plyne, že výška \(v\) tohoto trojúhelníku, která je kolmá na základnu, má délku
\(v = \sqrt{ 8^2 - \Big(\frac{ a} { 2} \Big)^2} \)
\(v = \sqrt{ 64 - 16 \cdot (2 - \sqrt{ 2} )} \)
\(v = 4 \cdot \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2} } \) \(m\)
Obsah tohoto trojúhelníku tedy činí:
\(S = \frac{ a \cdot v} { 2} = \frac{ (4 \cdot \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2} } )\cdot (8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 2} = 16 \cdot \sqrt{ (2 + \sqrt{ 2} ) \cdot (2 - \sqrt{ 2} )} = 16 \cdot \sqrt{ 2} \) \(m^2\).
Podstava je tvořena osmi takovými trojúhelníky a výška hranolu činí \(17\) \(m\), tedy
\(V = 16 \cdot \sqrt{ 2} \cdot 8 \cdot 17 = 2176 \cdot \sqrt{ 2} \) \(m^3\)
Co se týče plochy, stačí sečíst obsah podstavy a obsah stěn.
\(S_0 = S_{ podstavy} + 8 \cdot S_{ sten} \)
\(S_0 = 128 \cdot \sqrt{ 2} + 8 \cdot a \cdot 17 = 128 \cdot \sqrt{ 2} + 8 \cdot (8 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } ) \cdot 17 \)
\(S_0 = 64 \cdot (2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )\) \(m^3\)
Pokud chcete zjistit, kolik kbelíků barvy je třeba na natření, jednoduše vydělte obsah \(6\) a zaokrouhlete nahoru.
K natření je potřeba přesně \(\left \lceil{ \frac{ 32 \cdot (2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 3} } \right \rceil \) kbelíků barvy.
Pardon, nevšiml jsem si, že ty plechovky jsou pětilitrové, na konci tedy místo \(6\) dělte \(30\), tedy je třeba \(\left \lceil{ \frac{ 32\cdot(2 + 17 \cdot \sqrt{ 2 - \sqrt{ 2} } )} { 15} } \right \rceil \) kbelíků barvy.