Processing math: 100%

Steroemetrie - koule

Dobrý den, děkuji předem za pomoc, za každý příklad jsem vděčný

Příloha k dotazu

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Stereometrie
Mudra O.

Mudra O.

04. 06. 2021   16:59

5 odpovědí

Zeněk R.
Zeněk R.
05.06.2021 17:29:54

Zdravím,

celé ti to počítat nebudu, ale příklad 141 vypadá zajímavě.

Jestli jsem zadání pochopil správně, tak (obrázek) máme poloměr koule R=φ (a φ=5+12). Pak objem koule V1=43πφ3

Poloměr kužele r určíme z Pythagorovy věty φ2=r2+1  r2=φ21 . Dostáváme tak objem kužele V2=12πr2h=13π(φ21)(φ+1)

A nyní přijde kouzlo: Protože pro zlatý řez platí rovnice φ2φ1=0, můžeme jednak psát φ21=φ a také φ2=φ+1.

Když toto dosadíme do vztahu pro objem kužele, dostaneme V2=13πφ3

Takže V1V2=4

Příloha ke komentáři
Jan P.
Jan P.
05.06.2021 19:35:33

Také mě zaujala úloha 141, uvedu jen trochu odlišný zápis. Poloměr koule označme R, poloměr a výšku kužele r, h, vzdálenost středu koule od středu podstavy kužele x.

Podle definice vznikne zlatý řez rozdělením úsečky (výšky kužele) na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části:

Rx=hR=φ,

z toho

x=Rφ,h=Rφ.

Z pravoúhlého trojúhelníku (na obrázku modrá, červená a černá úsečka)

R2=r2+x2

a po dosazení za x vyjádříme r2. Do vzorce pro obsah kužele dosadíme r2, h, nakonec vydělíme objem koule a objem kužele.

Zlatý řez: https://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez

Jan P.
Jan P.
06.06.2021 09:36:39

Příklad 143 je z poloviny fyzika.

Výška kulové úseče, která vyčnívá z vody, je v=25d=45r. Objem této úseče je Vnad=13πv2(3rv), dosadíme za v. Objem ponořené části Vpod=VVnad=43πr3Vnad.

Na kouli působí tíhová síla FG a vztlaková síla Fvz. Tíhová síla FG=mg=Vϱdg, kde ϱd je hustota dřeva.

Vztlaková síla je podle Archimedova zákona Fvz=Vpodϱvg, kde ϱv je hustota vody.

Koule plave na hladině, obě síly jsou v rovnováze: FG=Fvz. Dosadíme a vyjádříme hustotu dřeva. Jestli dobře počítám, vychází ϱd=81125ϱv, což odpovídá hustotě dřeva okolo 650 kg/m3.

Jan Z.
Jan Z.
06.06.2021 10:28:41

Ahoj, přihodím taky pár hintů....

V=43π[(d2)3(d2t2)3]

mϱ=V

Když si to představíme, zůstane nám kulová úseč, která má v příčném řezu středový úhel 180230=120

Pak už stačí dopočítat potřebné rozměry pomocí goniometrických funkcí a Pythagorovy věty a dosadit do vzorců zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kulov%C3%A1_%C3%BAse%C4%8D

Opět se jedná o úlohu na kulovou úseč. Další hint bude, že hraniční body, které v příčném řezu vidíme, jsou body dotyku tečen ke kružnici a tudíž je u nich pravý úhel. Z daného trojúhelníku snadno dopočítáme potřebné rozměry a pak již odkaz viz výše.

Počítáme poměr plochy celé koule a té kulové úseče (bez podstavy)

Úloha odpovídá úloze 144, jen jsme prohodili parametry a neznámé.

Máme průnik dvou shodných koulí, jejichž středy jsou od sebe vzdáleny R. I toto je řešeno na odkaze výše.

Vzorec viz https://cs.wikipedia.org/wiki/Kulov%C3%A1_v%C3%BDse%C4…, v anglické verzi je i odvození pomocí integrálu.

Lze snadno pomocí goniometrických funkcí převést na úlohu 147.

Viz úlohy 144 a 145

Jan P.
Jan P.
09.06.2021 13:27:21

Pro kulovou (i kruhovou) úseč se často hodí vyznačit si pravoúhlý trojúhelník a použít Pythagorovu větu

r2=(rv)2+ϱ2

Příloha ke komentáři
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.