Steroemetrie - koule
Dobrý den, děkuji předem za pomoc, za každý příklad jsem vděčný
Mudra O.
04. 06. 2021 16:59
5 odpovědí
Zdravím,
celé ti to počítat nebudu, ale příklad 141 vypadá zajímavě.
Jestli jsem zadání pochopil správně, tak (obrázek) máme poloměr koule R=φ (a φ=√5+12). Pak objem koule V1=43πφ3
Poloměr kužele r určíme z Pythagorovy věty φ2=r2+1 ⇒ r2=φ2−1 . Dostáváme tak objem kužele V2=12πr2h=13π(φ2−1)(φ+1)
A nyní přijde kouzlo: Protože pro zlatý řez platí rovnice φ2−φ−1=0, můžeme jednak psát φ2−1=φ a také φ2=φ+1.
Když toto dosadíme do vztahu pro objem kužele, dostaneme V2=13πφ3
Takže V1V2=4
Také mě zaujala úloha 141, uvedu jen trochu odlišný zápis. Poloměr koule označme R, poloměr a výšku kužele r, h, vzdálenost středu koule od středu podstavy kužele x.
Podle definice vznikne zlatý řez rozdělením úsečky (výšky kužele) na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části:
Rx=hR=φ,
z toho
x=Rφ,h=Rφ.
Z pravoúhlého trojúhelníku (na obrázku modrá, červená a černá úsečka)
R2=r2+x2
a po dosazení za x vyjádříme r2. Do vzorce pro obsah kužele dosadíme r2, h, nakonec vydělíme objem koule a objem kužele.
Zlatý řez: https://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez
Příklad 143 je z poloviny fyzika.
Výška kulové úseče, která vyčnívá z vody, je v=25d=45r. Objem této úseče je Vnad=13πv2(3r−v), dosadíme za v. Objem ponořené části Vpod=V−Vnad=43πr3−Vnad.
Na kouli působí tíhová síla FG a vztlaková síla Fvz. Tíhová síla FG=mg=Vϱdg, kde ϱd je hustota dřeva.
Vztlaková síla je podle Archimedova zákona Fvz=Vpodϱvg, kde ϱv je hustota vody.
Koule plave na hladině, obě síly jsou v rovnováze: FG=Fvz. Dosadíme a vyjádříme hustotu dřeva. Jestli dobře počítám, vychází ϱd=81125ϱv, což odpovídá hustotě dřeva okolo 650 kg/m3.
Ahoj, přihodím taky pár hintů....
V=43π[(d2)3−(d−2t2)3]
mϱ=V
Když si to představíme, zůstane nám kulová úseč, která má v příčném řezu středový úhel 180∘−2⋅30∘=120∘
Pak už stačí dopočítat potřebné rozměry pomocí goniometrických funkcí a Pythagorovy věty a dosadit do vzorců zde: https://cs.wikipedia.org/wiki/Kulov%C3%A1_%C3%BAse%C4%8D
Opět se jedná o úlohu na kulovou úseč. Další hint bude, že hraniční body, které v příčném řezu vidíme, jsou body dotyku tečen ke kružnici a tudíž je u nich pravý úhel. Z daného trojúhelníku snadno dopočítáme potřebné rozměry a pak již odkaz viz výše.
Počítáme poměr plochy celé koule a té kulové úseče (bez podstavy)
Úloha odpovídá úloze 144, jen jsme prohodili parametry a neznámé.
Máme průnik dvou shodných koulí, jejichž středy jsou od sebe vzdáleny R. I toto je řešeno na odkaze výše.
Vzorec viz https://cs.wikipedia.org/wiki/Kulov%C3%A1_v%C3%BDse%C4…, v anglické verzi je i odvození pomocí integrálu.
Lze snadno pomocí goniometrických funkcí převést na úlohu 147.
Viz úlohy 144 a 145