Konstrukce trojuhelníku pomocí strany a, poloměr kružice vepsané a poloměr kružnice opsané

Ještě bych chtěl dodat že to musí být konstrukce bez žádných domyšlených stran, čiště pouze se stranou a, poloměru vepsané a opsané kružnice.

Tak je otázka, co rozumí tím zkonstruovat. Pokud je ten trojúhelník sestrojitelný (což jen tak "od oka" "zvolit" nemusí jít), tak znáte stranu a oba poloměry. Tak není problém ale je to dost pracné, spočíst z (a, Ri, Re) všechny potřebné prvky a pak nakreslit trojúhelník zcela jednoduše. Pokud ale chce vycházet z grafických vztahů, tak to je dost pracné, ale zkusím Vám dát výpočet, známe li a, Ri, Re, jak získat b, c (případně úhly). .

Ahoj,

postup konstrukce (známe stranu \(a = BC\) a poloměry \(r_o\) a \(r_v\):

1. \(BC, |BC| = a\)
2. \(k_1(B,r_o), k_2(C,r_o)\)
3. \(S_o \in k_1 \cap k_2\) - Střed kružnice opsané
4. \( k_o(S_o,r_o)\) - první informace o bodu A
5. přímka \(v_1: v_1 \parallel BC\), vzdálenost \(|v_1,BC| = r_v\)
6. \(A': A' \in k_o\) - libovolný
7. \(|\angle BA'C| = \alpha\) - znám graficky úhel alfa, jednoduchým výpočtem zjistím, že úsečka \(BC\) je ze středu kružnice vepsané vidět pod úhlem \(90^\circ + \frac{ \alpha} { 2} \)
8. \(k_{ s_o} :\) množina všech bodů, ze kterých je úsečka \(BC\) vidět pod úhlem \(90^\circ + \frac{ \alpha} { 2} \)
9. \(S_v \in v_1 \cap k_{ s_o} \)
10. \(k_v(S_v,r_v)\)
11. \(t_B: \) tečna ke \(k_v\) z bodu \(B\)
12. \(A \in t_B \cap k_o\)

Ještě dodám ten "Jednoduchý výpočet":

Z trojúhelníku \(BS_vC\) máme: \(|\angle x| = 180^\circ - \frac{ \gamma} { 2} - \frac{ \beta} { 2} = 180^\circ - \frac{ \gamma + \beta} { 2} \)

Z trojúhelníku \(ABC\) máme: \(180^\circ = \alpha + \beta + \gamma\), tedy \(\gamma + \beta = 180^\circ - \alpha\)

Dohromady tedy \(|\angle x| = 180^\circ - \frac{ \gamma + \beta} { 2} = 180^\circ - \frac{ 180^\circ - \alpha} { 2} = 90^\circ + \frac{ \alpha} { 2} \)