Množiny

Ahoj,množina A nejspíš obsahuje všechny kladné násobky tří, což lze zapsat např.

A = { 3,6,9,12,15,...} = { 3n, n ϵ N} nebo { 3n, n ϵ \( Z^+\)} . N ... množina přirozených čísel, \( Z^+\) ... množina kladných celých čísel.

Množina A = { x ϵ Z; x \( \leq \) -2} obsahuje všechna celá čísla, která jsou menší nebo rovna -2, tedy čísla -2, -3, -4, ... , množina B= { x ϵ Z; x < 4} obsahuje všechna celá čísla menší než 4, tedy čísla 3, 2, 1, 0, -1, ...

Průnik obou množin obsahuje všechna čísla, která patří do množiny A a zároveň do množiny B, tj. \( A \cap B \) = { ..., -6, -5, -4, -3, -2} = { x ϵ Z; x \( \leq \) -2 } . Sjednocení množin obsahuje všechna čísla z množiny A i všechna čísla z množiny B (tj. z A nebo B), čili \( A \cup B \) = { ..., -3, -2, -, 0, 1, 2, 3} = { x ϵ Z; x < 4} .

Množina A = { x ϵ Z; |x|\( \geq \) 0} obsahuje všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je kladné celé číslo nebo nula - a to jsou všechna celá čísla. Nerovnice |x-2| \( \leq \) 4 platí pro všechna čísla x, která mají od čísla +2 (znaménko je opačné než v absolutní hodnotě) na číselné ose vzdálenost menší nebo rovnu 4. Tedy B = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} . Potom \( A \cap B \) = B, \( A \cup B \) = Z.

Do sjednocení množin A, B patří i "vypadlé" číslo -1.

Takže se dá ten poslední úkol zapsat jako: A průnik B = { x ϵ Z; 6 > nebo = x > nebo = 0}

A sjednocení B = { x ϵ Z; x > nebo = 0} ?

Přeji pěkné odpoledne, Jakube,

bohuže nedá. Zanedbáváte záporná čísla, která do dané množiny mají rovněž patřit.

Správné řešení by pomocí charakteristické vlastnosti mělo skutečně znít takto:

\( A \cap B = \){ \( x \in \mathbb{ Z} | x \geq -2 \wedge x \leq 6 \)} = \(B\).

A podobně

\( A \cup B = \){ \( x \in \mathbb{ Z} | x \leq 0 \vee x \geq 0 \)} \( = A = \mathbb{ Z} \).

Takže to lze jinak napsat: A průnik B = { x ϵ Z; -2 > nebo = x < nebo = 6} a A sjednocení B = { x ϵ Z; 0 > nebo = x < nebo = 0} ? Každopádně děkuji za odpovědi.

Zdravím opět, Jakube,

ne tak docela, vy uvádíte následující:

\( A \cap B = \){ \( x \in \mathbb{ Z} | -2 \geq x \leq 6 \)} ,

ale ve skutečnosti by to mělo být napsané takto:

\( A \cap B = \){ \( x \in \mathbb{ Z} | -2 \leq x \leq 6 \)} .

Co se týče druhého příkladu, uvádíte následující:

\( A \cup B = \){ \( x \in \mathbb{ Z} |0 \geq x \leq 0 \)} ,

což je trochu bizarní zápis a určitě není správným řešením příkladu, protože říká, že množina obsahuje pouze nulu. Já jsem předtím použil operátor disjunkce, tedy logické nebo. To jsem ale udělal jen proto, že zadání vyžaduje charakteristický zápis množiny. Nejsmysluplnější ale bude jednoduše tato odpověď:

\( A \cup B = \mathbb{ Z} \).