Padající těleso

Jde o svislý vrh vzhůru, tedy rovnoměrně zpomalený pohyb. Počáteční rychlost označme \( v_0 \). Rychlost v čase \( t \) je

\( v=v_0-gt \).

Rychlost vrženého tělesa klesá, v max. výšce je rovna nule, tam tedy platí

\( 0 = v_0-gt \).

Z toho vyjádříme čas \( t \) (označíme jej \( t_0 \)), doba výstupu je

\( \displaystyle t_0=\frac{ v_0} { g} \).

Doba pádu je stejná, proto

\( \displaystyle t_1=2t_0=\frac{ 2v_0} { g} \).

Výška je dráha rovnoměrně zpomaleného (zrychleného) pohybu, tedy za dobu \( t_0 \)

\( \displaystyle h= s =\frac{ 1} { 2} gt_0^2 \).

Tady možná ještě dosadit \( t_0=t_1/2 \) a upravit.

(!) U výšky mám chybu - opravu napíšu níže.

Ještě, z doby \( t_1 \) máme určit počáteční rychlost, tedy

\( v_0=\frac{ 1} { 2} gt_1 \)

No to je jednoduché, vlivem tíhového zryclhení každou vteřinu ztratí to těleso 10 m / s, takže chceme, aby to trvalo 4 vteřiny, tak půl času "nahoru" a půl času "dolu" dá stejnou dráhu, čili 2 vteřiny poletí naším přičiněním nahoru a dvě vteřiny bude padat přičiněním zemské tíže dolů, takže za dvě vteřiny nabyde vlivem tíhového zrychlení 20 m / s (prostě je to konstantní zrychlení čili lineárně narůstající rychlost ) čili každou vteřinu se navýší rychlost o těch cca 10 m / s, takže 2 vteřiny bude padat, to dá na konci 1. vteřiny 10 m / s, na konci 2. vteřiny 20 m / s a tím je dáno totéž naopak, bude mít nejprve "počáteční" rychlost 20 m / s, ale na konci první vteřiny mu zemská tíže ubere 10m / s, má již jen 10 m / s a na konci 2. vteřiny mu ubere tíže dalších 10 m / s, bude mít 0 m / s alias dosáhne nejvyššího bodu a začne padat. Do jaké výšky, je to konstantní zrychlení, rychlost tedy nabývá s první mocninou času, tedy integrál a * t dt = a * t ^ 2 / 2 (to a je konstantní zrychlení zde g cca 10 m / s ^ 2 ), takže 10 * 2 ^ 2 / 2 = 20 m, (obecně by ale bylo a = a(t) funkcí času a a by pak byla nějaká nenulová počáteční konstanta), zde a = přímo konstanta = g .

Oprava:

Dosažená výška (h) je dráha rovnoměrně zpomaleného pohybu, tedy

\(h=v_0 t-\frac{ 1} { 2} gt^2\)

Chceme maximální výšku, proto místo \( t \) napíšeme \( t_0 \) (doba výstupu) a výraz zjednodušíme.

Nakonec můžeme dosadit \( t_0=t_1/2 \) a ještě upravit.