Pravděpodobnost trochu jinak

Před pár dny jsme tu na fóru řešili jeden příklad na pravděpodobnost, http://mathematicator.com/matematicke-forum/1334…

Ukážu trochu jiné řešení první úlohy, které je zajímavé tím, že vyžaduje naprosté minimum znalostí o pravděpodobnosti. Občas takový postup používám, když potřebuju ověřit řešení úlohy třeba na počítači.

Úloha: Honza má 20%ní pravděpodobnost, že u každého příkladu udělá chybu. Jaká je pravděpodobnost, že uspěje v testu, který má pět příkladů a toleruje se tam jedna chyba?

Řekněme, že Honza řeší příklady postupně jeden po druhém a každý buď vyřeší nebo ne. Označím si funkcí \(p(n, k)\) pravděpodobnost, že uspěje v testu s \(n\) otázkami, kde smí ještě udělat \(k\) chyb.

Jesliže následující otázku vyřeší správně, má test už jen \(n-1\) otázek a zbývá \(k\) šancí. V opačném případě zbyde \(n-1\) otázek a \(k-1\) šancí. Navíc platí triviální případ testu bez otázek, \(p(0, k) = 1\) a testu s otázkami s vysokým počtem chyb, \(p(n, -1) = 0\).

Protože známe šanci na správnou odpověď, dostaneme jednoduchou rekurentní funkci ne nepodobnou Fibonacciho funkci.

\(p(n, k) = 0.8 * p(n-1, k) + 0.2 * p(n-1, k-1)\)

\(p(n, -1) = 0\)

\(p(0, k) = 1\)

Řešením úlohy je hodnota \(p(5, 1)\) a pokud si dáme práci a rozvineme funkci, dostaneme vzorec, který se bude shodovat s binomickým rozdělením, aniž bychom o něm museli něco vědět.

\(p(5, 1) = 0.8 * p(4, 1) + 0.2 * p(4, 0)\)

\(p(5, 1) = 0.8 * 0.8 * p(3, 1) + 2 * 0.2 * 0.8 * p(3, 0)\)

\(p(5, 1) = 0.8 * 0.8 * 0.8 * p(2, 1) + 3 * 0.2 * 0.8 * 0.8 * p(2, 0)\)

\(p(5, 1) = 0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8 * p(1, 1) + 4 * 0.2 * 0.8 * 0.8 * 0.8 * p(1, 0)\)

\(p(5, 1) = 0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8 + 5 * 0.2 * 0.8 * 0.8 * 0.8 * 0.8\)