Rozdíl množin A a B

Https://ctrlv.cz/ZzY8

Proč je to zrovna b? z tý 1. odmocniny vim, že to je x > -2 a z tý 2 mi vyšlo, že x musí být větší jak -1/2 a 3/2 a nepratří tam samozřejmě -1/2 protože, to nemuže být 0. Je to ve zlomku, ale proto nechápu, proč je správně za b.

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Množiny
Tomáš H.

Tomáš H.

09. 06. 2021   17:49

2 odpovědi

Martin K.
Martin K.
09.06.2021 20:18:32

Ahoj, Tomáši,

přikládám obrázek, tak na něj mrkni.

Správná odpověď je C, ne B.

Když si najdeš kořeny rovnice \(x^2+4x-2=0\), tak zjistíš, že jsou \(x_1=-2-\sqrt6, x_2=-2+\sqrt6\). Když si je naneseš na reálnou číselnou osu a dosadíš postupně nějaká čísla z intervalů \((-\infty,-2-\sqrt6)\) (např. -10), \((-2-\sqrt6,-2+\sqrt6)\) (např. 0) a \((-2-\sqrt6,\infty)\) (např. 10), tak zjistíš, že první a třetí interval jsou kladné a druhý interval je záporný. Jelikož původní nerovnost byla \(x^2-4x-2>0\), tak hledáš jenom kladné intervaly - to jsou ten první a třetí. Tudíž \(A=\{ x:x\in(-\infty,-2-\sqrt6)\vee x\in(-2+\sqrt6,\infty)\} \)

Pro druhou nerovnost si napřed najdeš kořeny rovnice \(|x+1|=3\). To uděláš tak, že napřed vyřešíš \((x+1)=3 \to x=2\) a následně vyřešíš \(-(x+1)=3 \to x=-4\). Tím získáš průsečíky s osou x, tedy kořeny, a postupuješ podobně jako u množiny A, tentokrát se ale díváš na to, jestli ti výraz \(|x+1|\) dává výsledek větší než 3, nebo menší než 3. Pro interval \((-\infty,-4)\) ti vyjdou čísla \(>3\), pro interval \((-4,2)\) čísla \(<3\) a pro interval \((2,\infty)\) vyjdou čísla \(>3\). Poněvadž původní nerovnost chtěla, aby \(|x+1|\leq3\), tak je jasné, že tady bude správnou odpovědí jenom jeden interval, a to \(\langle-4,2\rangle\), tedy nám vyjde, že \(B=\{ x:x\in\langle-4,2\rangle\} \)

Když si tyto intervaly naneseš na jednu osu a uvidíš jejich překrývající se části, jednoduše už odečteš množinu (nebo interval, pokud radši používáš toto označení) A od množiny B. Na obrázku, který jsem dal do přílohy, je modře označená množina A, růžově označená množina B. Zajímáš se tak pouze o plochy, které jsou šrafované jenom modře - růžové plochy ani růžovomodré plochy tě nezajímají.

A z obrázku tak vidíme, že správným výsledkem je \(A\setminus B=(-\infty,-2-\sqrt6)\cup(2,\infty)\)

Kdyby něco nebylo jasný, ptej se. Pokud budu vědět, poradím, popřípadě i někdo jiný. :)

Souhlasí: 1    
Tomáš H.
Tomáš H.
09.06.2021 22:49:55

Díky moc, už jsem to pochopil. Měl jsem totiž celou dobu za to, že u 1. intervalu je >= a proto jsem se divil u toho C, kam zmizela špičatá závorka.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.