Slovní úloha o vykonu

Ahoj,

začneme označením hodnot: \(V_{ tot} \) je celkový objem nádrže, \(v_{ out} [\text{ m} ^3 \text{ /min} ]\) a \(t_{ out} [\text{ min} ]\) jsou rychlost a doba vypouštění nádrže. Analogicky \(v_{ in} [\text{ m} ^3 \text{ /min} ]\) a \(t_{ in} [\text{ min} ]\).

Ptají se nás na to, kolik \(\text{ m} ^3\) napustí čerpadlo za 1 minutu, tedy vlastně na \(v_{ in} \)

Nyní si sestavíme rovnice:

\(V_{ tot} = v_{ out} \cdot t_{ out} \) - rovnice pro vypouštění - čerpací rychlost krát čas dá vyčerpaný objem.

\(V_{ tot} = v_{ in} \cdot t_{ in} \) - rovnice pro napouštění - čerpací rychlost krát čas dá načerpaný objem.

\(v_{ out} = v_{ in} + 10 \text{ m} ^3 \text{ /min} \) - dle zadání - rychlost vypouštění je větší než rychlost napouštění.

\(t_{ out} = t_{ in} - 8\text { min} \) - dle zadání - čas vypouštění celé nádrže je o 8 minut kratší než čas napouštění.

Nyní přes \V_{ tot} \) spojíme první dvě rovnice a za čas a rychlost vypouštění dosadíme ze zbylých dvou.

\(t_{ in} \cdot v_{ in} = \left(t_{ in} - 8\right) \cdot \left(v_{ in} - 10 \right)\)

Zároveň si necháme první rovnici:

\(2400 = v_{ in} \cdot t_{ in} \)

Nyní máme dvě rovnice, vyjádřil bych si z té druhé \(t_{ in} = 2400 / v_{ in} \) a dosadil do té první. Pak dořeším pro \(v_{ in} \) a mám odpověď...

\(2400 = 2400 - \frac{ 24000} { v_{ in} } - 8v_{ in} + 80\)

\(8v_{ in} ^2 - 80v_{ in} - 24000 = 0\)

\(D = 12100 \text{ , } \sqrt{ D} = 110\)

\(v_{ in} = 60\text{ m} ^3\text{ /min} \)