Slovní úloha o vykonu

Ahoj,

začneme označením hodnot: $V_{ tot}$ je celkový objem nádrže, $v_{ out} [\text{ m} ^3 \text{ /min} ]$ a $t_{ out} [\text{ min} ]$ jsou rychlost a doba vypouštění nádrže. Analogicky $v_{ in} [\text{ m} ^3 \text{ /min} ]$ a $t_{ in} [\text{ min} ]$.

Ptají se nás na to, kolik $\text{ m} ^3$ napustí čerpadlo za 1 minutu, tedy vlastně na $v_{ in}$

Nyní si sestavíme rovnice:

$V_{ tot} = v_{ out} \cdot t_{ out}$ - rovnice pro vypouštění - čerpací rychlost krát čas dá vyčerpaný objem.

$V_{ tot} = v_{ in} \cdot t_{ in}$ - rovnice pro napouštění - čerpací rychlost krát čas dá načerpaný objem.

$v_{ out} = v_{ in} + 10 \text{ m} ^3 \text{ /min}$ - dle zadání - rychlost vypouštění je větší než rychlost napouštění.

$t_{ out} = t_{ in} - 8\text { min}$ - dle zadání - čas vypouštění celé nádrže je o 8 minut kratší než čas napouštění.

Nyní přes \V_{ tot} \) spojíme první dvě rovnice a za čas a rychlost vypouštění dosadíme ze zbylých dvou.

$t_{ in} \cdot v_{ in} = \left(t_{ in} - 8\right) \cdot \left(v_{ in} - 10 \right)$

Zároveň si necháme první rovnici:

$2400 = v_{ in} \cdot t_{ in}$

Nyní máme dvě rovnice, vyjádřil bych si z té druhé $t_{ in} = 2400 / v_{ in}$ a dosadil do té první. Pak dořeším pro $v_{ in}$ a mám odpověď...

$2400 = 2400 - \frac{ 24000} { v_{ in} } - 8v_{ in} + 80$

$8v_{ in} ^2 - 80v_{ in} - 24000 = 0$

$D = 12100 \text{ , } \sqrt{ D} = 110$

$v_{ in} = 60\text{ m} ^3\text{ /min}$