Stereometrie - sexta

pardon špatný soubor

Zdravím.

Příklad 2.

Objem válce \(V_v=\pi\left(\frac a2\right)^2b\)

Objem kvádru \(V_k=a^2b\)

Takže \(\frac{ V_k} { V_v} =\frac{ a^2b} { \pi\left(\frac a2\right)^2b} \) a dopočítat.

Povrch kvádru \(P_k=2a^2+4ab=2a(a+2b)\)

Povrch válce \(P_v=2\pi\left(\frac a2\right)^2+2\pi\left(\frac a2\right)b=\frac12\pi a(a+2b)\)

Takže \(\frac{ P_k} { P_v} =\frac{ 2a(a+2b)} { \frac12\pi a(a+2b)} \) a dodpočítat

Pro odchylku platí \(\tan\alpha=\frac ba\)

Abychom mohli spočítat konkrétní hodnoty objemů, povrchů a odchylky, potřebujeme určit \(b\)

Z rovnice v zadání máme \(u^2=\frac{ b^4} { a^2} \). Také máme Pythagorovu větu \(u^2=a^2+b^2\)

Dosadíme: \(\frac{ b^4} { a^2} =a^2+b^2\ \Rightarrow\ b^4-a^2b^2-a^4=0\)

Spočítáme diskriminant: \(D=a^4+4a^4=5a^4\), takže \(b^2=\frac{ a^2} 2(\sqrt5+1)\). (Kořen s "mínusem" nevyhovuje, protože \(b^2\) je nezáporné)

Dostaneme \(b=a\sqrt{ \frac{ \sqrt5+1} 2} \) (opět, kořen s "mínusem" nevyhovuje).

Nyní už jen dosadit do příslušných vzorců.