Teorie množin
Dobrý den,
zde dávám ještě ten druhý příklad.
Ještě jednou děkuji za pomoc
Jana T.
23. 05. 2021 19:29
2 odpovědi
Formální řešení nemám, ale nabízím úvahu...
Každý vnitřní bod množiny je hromadným bodem, se kterým problém nebude.
Jediné potenciální hromadné body, které nemusí být součástí množiny, jsou body hranice.
Jelikož se bavíme o doplňku otevřené množiny (svou hranici neobsahuje), její doplňek ji obsahovat bude.
Množina je otevřená, pokud pro každý bod je jeho okolí podmnožinou .
Vezmeme si libovolný hromadný bod , řekněme . Platí, že má neprázdný průnik s mimo (z definice hromadného bodu), z čeho hned plyne, že . Kdyby platilo, že , potom by jeho okolí bylo podmnožinou (z definice otevřené množiny) a nemohl by být hromadným bodem .
Intuitivně, komplement otevřené množiny je uzavřený, protože definice otevřené množiny říká, že všechny body v jsou příliš daleko od , než aby mohly být jeho hromadnými body.