Teorie množin

Formální řešení nemám, ale nabízím úvahu...

Každý vnitřní bod množiny je hromadným bodem, se kterým problém nebude.

Jediné potenciální hromadné body, které nemusí být součástí množiny, jsou body hranice.

Jelikož se bavíme o doplňku otevřené množiny (svou hranici neobsahuje), její doplňek ji obsahovat bude.

Množina \( O \) je otevřená, pokud pro každý bod \( x \) je jeho \( \epsilon \) okolí \( V_\epsilon(x) \) podmnožinou \( O \).

Vezmeme si libovolný hromadný bod \( O^c \), řekněme \( y \). Platí, že \( V_\epsilon(y) \) má neprázdný průnik s \( O^c \) mimo \( y \) (z definice hromadného bodu), z čeho hned plyne, že \( y \in O^c \). Kdyby platilo, že \( y \in O \), potom by jeho okolí bylo podmnožinou \( O \) (z definice otevřené množiny) a nemohl by být hromadným bodem \( O^c \).

Intuitivně, komplement otevřené množiny \( O \) je uzavřený, protože definice otevřené množiny říká, že všechny body v \( O \) jsou příliš daleko od \( O^c \), než aby mohly být jeho hromadnými body.