Délka oblouku daného v polárních souřadnicích rovnicí...
Dobrý den, potřeboval bych pomoct s příkladem: Vypočítejte délku oblouku daného v polárních souřadnicích rovnicí: "r=12 sin²(Φ/3), Φ ∈<0;3π>".
Jsem zaseknutý hned na začátku. Náš pan učitel použil na řešení podobného příkladu vzorec "V=2π/3 ∫r²(Φ)sinΦdΦ" (přičemž nad integrálem je beta a pod alfa, nevím jak napsat na klávesnici). Když jsem ale hledal tento vzoreček mezi vzorečky co máme umět, nenašel jsem ho.
Chtěl bych se zeptat, zda se to dá řešit nějak pomocí tohoto vzorečku, nebo bych měl použít jiný a jak bych měl do něj dosadit? Případně, pokud byste znali nějaká videa, kde se podobné příklady vysvětlují a dali mi sem odkaz, byl bych vám moc vděčný :)
Jan R.
26. 12. 2020 20:18
12 odpovědí
Ahoj, tento vzorec neznám, pro délku rovinné křivky v polárních souřadnicích bych použil bych např. vzorec dole na str.
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/5/txc3da5c.htm
graf
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D12*%28sin…
integrál po úpravě a výsledek
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%28144…
Podařilo se?
Samozřejmě, ten integrál lze zapsat různě - nezkoušel jsem, jestli úprava v posledním odkazu je vhodná pro výpočet.
Zkusil jsem to podle vašeho vzorečku, ale vyšla mi úplná blbost, konkrétně -8/27. Myslím si, že chyba je už v tom, že do vzorečku neumím správně dosadit. Mohl by jste mi prosím říct jak vypadá příklad po dosazení?
Použil bych vzorec
\(d=\int\sqrt{ [r'(\varphi)]^2+[r(\varphi)]^2} ,d\varphi \)
kde dosadím
\( r(\varphi)=12[\sin(\varphi/3)]^2 \)
a derivaci tohoto výrazu podle \( \varphi \), tj.
\( r'(\varphi)=12\cdot 2 \cdot\frac{ 1} { 3} \sin(\varphi/3)\cos(\varphi/3) \)
tedy
\(d=\int\sqrt{ [r'(\varphi)]^2+[r(\varphi)]^2} ,d\varphi=\int\sqrt{ 12^2[\sin(\varphi/3)]^4+[8\sin(\varphi/3)\cos(\varphi/3)]^2} ,d\varphi\)
s mezemi od 0 do \( 3\pi \)
Už jsem látku více pochopil a zkusil jsem příklad spočítat pomocí vzorce S=∫1/2r²(φ) dφ (nad integrálem je beta a pod ním alfa) a vyšlo mi π/2. Po dosazení do vzorce jsem provedl substituci a pak i per partes abych se dostal k výsledku. Jste si jistý, že výsledek 64,6228 je správný? Na hodině učiteli vycházely příklady taky ve zlomcích π.
Zdravím,
můžeš to zkontrolovat zde - zadal jsem rovnici křivky, počítač dopočítal její délku (arc length):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D12*%28sin…
Uvedený vzorec bohužel neznám.
To zase hází to číslo "64,6228", ale nevadí. I tak děkuju za pomoc :)
Můžeš sem vložit svůj postup ofocený (stačí i začátek) a podívám se na to.
Tak mi to nedalo :)
Křivku si můžeme načrtnout od ruky, když za úhel \( \phi \) dosadíme \( 0, \pi/2, \pi, ... \). Např. pro \( \phi=0 \) vychází \( r=0 \) a pro \( \phi=3\pi/2 \) vychází \( r=12 \), tj. délka oblouku musí být minimálně 12 jednotek (kdyby to byla úsečka). Podle obrázku se délka křivky blíží spíš kružnici o průměru 20 jednotek, což je zhruba 60 jednotek. Já bych Wolframu Alpha věřil :)
Moc si cením vašeho odhodlaní příklad správně spočítat :D. Dnes pro nás příklad spočítala paní učitelka na hodině a vychází opravdová šílenost. Ale když jsem jí dosadil do kalkulačky (možná jsem se někde spletl), vyšlo mi 50,62. Takže asi jste měl od začátku pravdu. Mockrát díky ještě jednou za pomoc.
Tady je výsledek v originální formě.
Teď nevím, co se vlastně počítá :) myslel jsem, že délka křivky, ale vzorec S=∫1/2r²(φ) dφ je pro plošný obsah.