Délka oblouku daného v polárních souřadnicích rovnicí...

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s příkladem: Vypočítejte délku oblouku daného v polárních souřadnicích rovnicí: "r=12 sin²(Φ/3), Φ ∈<0;3π>".

Jsem zaseknutý hned na začátku. Náš pan učitel použil na řešení podobného příkladu vzorec "V=2π/3 ∫r²(Φ)sinΦdΦ" (přičemž nad integrálem je beta a pod alfa, nevím jak napsat na klávesnici). Když jsem ale hledal tento vzoreček mezi vzorečky co máme umět, nenašel jsem ho.

Chtěl bych se zeptat, zda se to dá řešit nějak pomocí tohoto vzorečku, nebo bych měl použít jiný a jak bych měl do něj dosadit? Případně, pokud byste znali nějaká videa, kde se podobné příklady vysvětlují a dali mi sem odkaz, byl bych vám moc vděčný :)

✓   Téma bylo vyřešeno.

Obtížnost: Vysoká škola
Kategorie: Integrály
Jan R.

Jan R.

26. 12. 2020   20:18

12 odpovědí

Miroslav Š.
Miroslav Š.
27.12.2020 13:07:58

Ahoj, tento vzorec neznám, pro délku rovinné křivky v polárních souřadnicích bych použil bych např. vzorec dole na str.

http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/5/txc3da5c.htm

graf

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D12*%28sin…

integrál po úpravě a výsledek

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%28144…

Podařilo se?

Miroslav Š.
Miroslav Š.
27.12.2020 13:17:10

Samozřejmě, ten integrál lze zapsat různě - nezkoušel jsem, jestli úprava v posledním odkazu je vhodná pro výpočet.

Jan R.
Jan R.
28.12.2020 18:44:24

Zkusil jsem to podle vašeho vzorečku, ale vyšla mi úplná blbost, konkrétně -8/27. Myslím si, že chyba je už v tom, že do vzorečku neumím správně dosadit. Mohl by jste mi prosím říct jak vypadá příklad po dosazení?

Miroslav Š.
Miroslav Š.
28.12.2020 20:01:50

Použil bych vzorec

\(d=\int\sqrt{[r'(\varphi)]^2+[r(\varphi)]^2} ,d\varphi \)

kde dosadím

\( r(\varphi)=12[\sin(\varphi/3)]^2 \)

a derivaci tohoto výrazu podle \( \varphi \), tj.

\( r'(\varphi)=12\cdot 2 \cdot\frac{1}{3}\sin(\varphi/3)\cos(\varphi/3) \)

tedy

\(d=\int\sqrt{[r'(\varphi)]^2+[r(\varphi)]^2} ,d\varphi=\int\sqrt{12^2[\sin(\varphi/3)]^4+[8\sin(\varphi/3)\cos(\varphi/3)]^2} ,d\varphi\)

s mezemi od 0 do \( 3\pi \)

Jan R.
Jan R.
05.01.2021 22:47:46

Už jsem látku více pochopil a zkusil jsem příklad spočítat pomocí vzorce S=∫1/2r²(φ) dφ (nad integrálem je beta a pod ním alfa) a vyšlo mi π/2. Po dosazení do vzorce jsem provedl substituci a pak i per partes abych se dostal k výsledku. Jste si jistý, že výsledek 64,6228 je správný? Na hodině učiteli vycházely příklady taky ve zlomcích π.

Miroslav Š.
Miroslav Š.
06.01.2021 16:18:10

Zdravím,

můžeš to zkontrolovat zde - zadal jsem rovnici křivky, počítač dopočítal její délku (arc length):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D12*%28sin…

Uvedený vzorec bohužel neznám.

Jan R.
Jan R.
06.01.2021 17:40:49

To zase hází to číslo "64,6228", ale nevadí. I tak děkuju za pomoc :)

Miroslav Š.
Miroslav Š.
06.01.2021 18:34:27

Můžeš sem vložit svůj postup ofocený (stačí i začátek) a podívám se na to.

Miroslav Š.
Miroslav Š.
07.01.2021 17:36:28

Tak mi to nedalo :)

Křivku si můžeme načrtnout od ruky, když za úhel \( \phi \) dosadíme \( 0, \pi/2, \pi, ... \). Např. pro \( \phi=0 \) vychází \( r=0 \) a pro \( \phi=3\pi/2 \) vychází \( r=12 \), tj. délka oblouku musí být minimálně 12 jednotek (kdyby to byla úsečka). Podle obrázku se délka křivky blíží spíš kružnici o průměru 20 jednotek, což je zhruba 60 jednotek. Já bych Wolframu Alpha věřil :)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D12*%28sin…

Jan R.
Jan R.
07.01.2021 21:13:44

Moc si cením vašeho odhodlaní příklad správně spočítat :D. Dnes pro nás příklad spočítala paní učitelka na hodině a vychází opravdová šílenost. Ale když jsem jí dosadil do kalkulačky (možná jsem se někde spletl), vyšlo mi 50,62. Takže asi jste měl od začátku pravdu. Mockrát díky ještě jednou za pomoc.

Jan R.
Jan R.
07.01.2021 21:15:10

Tady je výsledek v originální formě.

Miroslav Š.
Miroslav Š.
10.01.2021 11:42:00

Teď nevím, co se vlastně počítá :) myslel jsem, že délka křivky, ale vzorec S=∫1/2r²(φ) dφ je pro plošný obsah.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.