Diferenciální geometrie ploch
\(\phi : (u,v) \rightarrow \left[(a+b\cos u )\cos v,(a+b\cos u )\sin v ,b\sin u\right], (u,v) \in \mathbb{ R} ^{ 2} \)
- Ukažte, že \(\phi |_{ U} \) je 2-mapa, kde \(U=(0,2\pi)^{ 2} \)
- Ukažte, že \(S=\phi(\mathbb{ R} ^{ 2} )\) je 2-plocha.
- Popište tečný prostor \(T_{ x} (S)\) pro \(x=\phi (u,v)\)
- Najděte \(h(x,y)\) takovou, že \(S\cap { z>0} =\) graf \(h\)
- Popište plochu \(S\) implicitně, tj. \(S= { (x,y,z): F(x,y,z)=0 } \)
(u 5 maji byt mnozinove zavorky, ale TeX je nevypisuje z nejakeho duvodu) 1,2,3 jsem poměrně hravě zvládl. Ale se čtyřkou si vůbec nevím rady. Dal by někdo odrazový můstek?
U pětky také tápu. Je na to nějaký obecný postup, nebo musím prostě hádat a kombinovat goniometrické vzorečky? Zkoušel jsem různě \(x²+y²+z²\) apod., ale vždy tam zbyde něco, co jedndouše nevyjádřím.
Rudolf H.
07. 03. 2023 11:07
6 odpovědí
Tak výše uvedená plocha je anuloid, to ale není kvadrika (kvadratická plocha), ale dokonce kvartika, plocha 4. stupně ( anuloid patří mezi t. zv. cyklidy, t. j. plochy čtvrtého stupně s dvojnou kuželosečkou v absolutní kružnici)
který lze parametrizovat rovnicí
p(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u),
kde a > b jsou reálné konstanty. Jedná se o plochu vzniklou rotací kružnice, která
neprotíná osu z. Lze výpočtem přesvědčit, že platí rovnosti
K = (sin u)/ (a(b + a sin u)), H = (b + 2ab sin u)/(2a(b + a sin u))
Nakonec jsem pětku zvládl, mnohokrát se použije goniometrická jednička, a dojde se k \(F(x,y,z)=(\sqrt{ x^2+y^2} -a)^2+z^2-b^2\). Z toho by šlo vyjádřením \( z \) získat i řešení čtyřky, ale není to moc logické vzhledem k pořadí úloh.
Váš komentář mi pomohl, ale nechápu, co označujete jako K a H.
Ještě Vám k tomu pro kontrolu dopíši ten implicitní vztah F(x,y,z) =0 a co je veličina K,H
Je to zkontrolované dosazením do implicitního tvaru, vyjde pro kontrolu 0. Ještě zkusím Váš vztah pro implicitní rovnici anuloidu.
Máte to dobře ten implicitní vztah, jen v trochu jiné podobě, ale vyjde na stejno.
Ještě co znamenají veličiny K, H, jedná se o křivosti křivky na dané ploše, to první je K = k1*k2, to druhé H = (k1+k2)/2 tedy K je Gaussova křivost a H je střední křivost, obojí v bodě X plochy S. Obojí se dá dát do souvislosti Eulerovou formulí přes hlavní křivost a normálovou křivost plochy (třeba na rotačním elipsoidu je poloměr M - meridiální křivosti (to je ta hlavní) a N normálové křivosti) . Souvisí to velice s tzv. geodetikami alias geodetickými křivkami na dané ploše, pro které platí, že tzv. kg geodetická křivost je u nich rovna 0. Takže třeba ortodroma na kouli je tou geodetikou a její kg = 0. Koeficienty gij jsou koeficienty tzv. 1 základní formy plochy a současně kovariantní souřadnice tensoru plochy S v bodě X.
