Processing math: 100%

Diferenciální geometrie ploch

ϕ:(u,v)[(a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,bsinu],(u,v)R2

  1. Ukažte, že ϕ|U je 2-mapa, kde U=(0,2π)2
  2. Ukažte, že S=ϕ(R2) je 2-plocha.
  3. Popište tečný prostor Tx(S) pro x=ϕ(u,v)
  4. Najděte h(x,y) takovou, že Sz>0= graf h
  5. Popište plochu S implicitně, tj. S=(x,y,z):F(x,y,z)=0

(u 5 maji byt mnozinove zavorky, ale TeX je nevypisuje z nejakeho duvodu) 1,2,3 jsem poměrně hravě zvládl. Ale se čtyřkou si vůbec nevím rady. Dal by někdo odrazový můstek?

U pětky také tápu. Je na to nějaký obecný postup, nebo musím prostě hádat a kombinovat goniometrické vzorečky? Zkoušel jsem různě x²+y²+z² apod., ale vždy tam zbyde něco, co jedndouše nevyjádřím.


Obtížnost: Vysoká škola
Kategorie: Geometrie
Rudolf H.

Rudolf H.

07. 03. 2023   11:07

6 odpovědí

MILAN K.
MILAN K.
09.03.2023 04:16:31

Tak výše uvedená plocha je anuloid, to ale není kvadrika (kvadratická plocha), ale dokonce kvartika, plocha 4. stupně ( anuloid patří mezi t. zv. cyklidy, t. j. plochy čtvrtého stupně s dvojnou kuželosečkou v absolutní kružnici)

který lze parametrizovat rovnicí

p(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u),

kde a > b jsou reálné konstanty. Jedná se o plochu vzniklou rotací kružnice, která

neprotíná osu z. Lze výpočtem přesvědčit, že platí rovnosti

K = (sin u)/ (a(b + a sin u)), H = (b + 2ab sin u)/(2a(b + a sin u))

Souhlasí: 1    
Rudolf H.
Rudolf H.
09.03.2023 12:17:35

Nakonec jsem pětku zvládl, mnohokrát se použije goniometrická jednička, a dojde se k F(x,y,z)=(x2+y2a)2+z2b2. Z toho by šlo vyjádřením z získat i řešení čtyřky, ale není to moc logické vzhledem k pořadí úloh.

Váš komentář mi pomohl, ale nechápu, co označujete jako K a H.

MILAN K.
MILAN K.
09.03.2023 14:48:16

Ještě Vám k tomu pro kontrolu dopíši ten implicitní vztah F(x,y,z) =0 a co je veličina K,H

MILAN K.
MILAN K.
10.03.2023 18:31:18

Je to zkontrolované dosazením do implicitního tvaru, vyjde pro kontrolu 0. Ještě zkusím Váš vztah pro implicitní rovnici anuloidu.

Příloha ke komentáři
MILAN K.
MILAN K.
10.03.2023 18:51:17

Máte to dobře ten implicitní vztah, jen v trochu jiné podobě, ale vyjde na stejno.

MILAN K.
MILAN K.
10.03.2023 20:57:36

Ještě co znamenají veličiny K, H, jedná se o křivosti křivky na dané ploše, to první je K = k1*k2, to druhé H = (k1+k2)/2 tedy K je Gaussova křivost a H je střední křivost, obojí v bodě X plochy S. Obojí se dá dát do souvislosti Eulerovou formulí přes hlavní křivost a normálovou křivost plochy (třeba na rotačním elipsoidu je poloměr M - meridiální křivosti (to je ta hlavní) a N normálové křivosti) . Souvisí to velice s tzv. geodetikami alias geodetickými křivkami na dané ploše, pro které platí, že tzv. kg geodetická křivost je u nich rovna 0. Takže třeba ortodroma na kouli je tou geodetikou a její kg = 0. Koeficienty gij jsou koeficienty tzv. 1 základní formy plochy a současně kovariantní souřadnice tensoru plochy S v bodě X.

Příloha ke komentáři
Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.