Dotyčnica ku grafu

Ahoj,

hledáme společný bod přímky \( y=8x+5 \) a paraboly \( y=px^2 \). Sestavíme rovnici \( 8x+5 =px^2 \), kterou upravíme na tvar \( px^2-8x-5=0 \). Jde o kvadratickou rovnici.

Protože přímka je tečnou ("dotyčnicou") paraboly, mají společný 1 bod a kvadratická rovnice má pouze jedno řešení. To znamená, že diskriminant je roven nule (položíme \( D=0 \)) a z toho vypočítáme parametr \( p \).

Tedy \( D=(b^2-4ac)=64+20p=0 \), odtud \( p=-\frac{ 16} { 5} \).

Dosazením \( p \) do kvadratické rovnice dostaneme rovnici \( -\frac{ 16} { 5} x^2-8x-5=0 \). Odtud vypočítáme souřadnici bodu dotyku \( x_0=-\frac{ 5} { 4} \). Souřadnici \( y_0 \) vypočítáme z rovnice přímky nebo z rovnice paraboly.

Výsledek https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D8x%2B5%2C+y%3D…

Teď teprve vidím, že jde o vysokou školu. O správnosti řešení se přesvědčíme derivací funkce \( y=px^2 \), tj. \( y'=2px \). Derivace funkce je rovna směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě. Směrnice přímky je \( 8 \), proto musí platit \( 2px_0=8 \).

Úlohu můžeme od začátku řešit jako soustavu tří rovnic. Bod dotyku označíme \( [x_0,y_0] \), pak

\( y_0=8x_0+5,\quad y_0=px_0^2,\quad 2px_0=8\)