Dotyčnica ku grafu

Ahoj,

hledáme společný bod přímky $y=8x+5$ a paraboly $y=px^2$. Sestavíme rovnici $8x+5 =px^2$, kterou upravíme na tvar $px^2-8x-5=0$. Jde o kvadratickou rovnici.

Protože přímka je tečnou ("dotyčnicou") paraboly, mají společný 1 bod a kvadratická rovnice má pouze jedno řešení. To znamená, že diskriminant je roven nule (položíme $D=0$) a z toho vypočítáme parametr $p$.

Tedy $D=(b^2-4ac)=64+20p=0$, odtud $p=-\frac{ 16} { 5}$.

Dosazením $p$ do kvadratické rovnice dostaneme rovnici $-\frac{ 16} { 5} x^2-8x-5=0$. Odtud vypočítáme souřadnici bodu dotyku $x_0=-\frac{ 5} { 4}$. Souřadnici $y_0$ vypočítáme z rovnice přímky nebo z rovnice paraboly.

Výsledek https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D8x%2B5%2C+y%3D…

Teď teprve vidím, že jde o vysokou školu. O správnosti řešení se přesvědčíme derivací funkce $y=px^2$, tj. $y'=2px$. Derivace funkce je rovna směrnici tečny ke grafu funkce v daném bodě. Směrnice přímky je $8$, proto musí platit $2px_0=8$.

Úlohu můžeme od začátku řešit jako soustavu tří rovnic. Bod dotyku označíme $[x_0,y_0]$, pak

$y_0=8x_0+5,\quad y_0=px_0^2,\quad 2px_0=8$