Důkaz vlastnosti
Dobrý den, prosím Vás o radu. Vyřešit obecně, ne s konkrétními vektory. Děkuji.
Dokažte, že platí vlastnost: ||u x v|| * ||w|| = ± [u,v,w ] právě tehdy, když je vektor w kolmý na u a v.
u x v ... vektorový součin ||u x v|| ... velikost vektorového součinu ||w|| ... velikost vektoru w
± [u,v,w ] ... vnější součin
Charlotte S.
07. 01. 2023 19:04
2 odpovědi
Vektorový součin (cross product) mezi vektory u a v se vyjádří jako:
u x v = ||u|| * ||v|| * sin(θ) * n
kde θ je úhel mezi vektory u a v a n je jednotkový vektor kolmý na rovinu určenou vektory u a v.
Vnější součin mezi vektory u, v a w se vyjádří jako:
[u,v,w] = u * (v x w)
Podívejme se nyní na pravou stranu výše uvedené vlastnosti:
||u x v|| * ||w|| = ± [u,v,w]
přepíšeme si výrazy pro vektorový součin a vnější součin:
||u|| * ||v|| * sin(θ) * n * ||w|| = ± u * (v x w)
rozdělíme obě strany výše uvedené rovnice členem ||u|| * ||v|| * ||w||:
sin(θ) * n = ± u * (v x w) / (||u|| * ||v|| * ||w||)
nyní se podívejme na vlastnosti sin(θ) a n:
sin(θ) je nenulové pouze tehdy, když úhel θ mezi vektory u a v není nulový.n je jednotkový vektor kolmý na rovinu určenou vektory u a v.
V případě, že vektor w je kolmý na u a v, pak úhel mezi vektory u a w je nulový a úhel mezi vektory v a w je také nulový. To znamená, že sin(θ) je nulové a n je jednotkový vektor kolmý na rovinu určenou vektory u a v.
Výsledkem je, že pravá strana výše uvedené rovnice je nulová, což znamená, že vlastnost:
||u x v|| * ||w|| = ± [u,v,w]
platí právě tehdy, když je vektor w kolmý na u a v.
Dobrý den, moc Vám děkuji za vysvětlení a pomoc.