Důvod proč je tenhle trojúhelník rovnostranný

Tak nejlépe přes souřadnice, takže strany malého trojúhelníku BED = b, strany většího trojúhelníku CDF = a, strany největšího trojúhelníku AEF = odmocnina (a^2+b^2+ab*odmocnina (3))

Nebo také bez souřadnic např. AF = odmocnina (a^2+b^2-2ab * cos 150°) = odmocnina (a^2+b^2+ab*odmocnina (3)), to samé i AE , stejné délky a,b, stejný úhel 150° proti AE, nebo EF opět stejné délky a,b a stejný úhel 150° proti EF.

Ten druhý způsob byla cosinová věta, tedy strana trojúhelníku AF^2 = EF^2 = AE^2 = a^2 + b^2 * cos 150°, těch 150° dostaneme jako součet pravého úhlu z obdélníku a 60° z přilehlého rovnostraného trojúhelníku.

Dobrý den,

mockrát vám děkuju.

Ahoj,

uvádíš "základní škola" - proto jen doplním, že každou stranu trojúhelníku $AEF$ lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty. Stačí najít příslušné pravoúhlé trojúhelníky.

Nejprve si spočítáš výšky rovnostranných trojúhelníků, např. výška trojúhelníku $CFD$ je $\frac{ \sqrt{ 3} } { 2} a$ (pomocí Pythagorovy věty nebo z tabulek).

Dále např. délku strany $AF$ vypočítáme takto:

Střed strany $AB$ označím $X$, vyznačím si pravoúhlý trojúhelník $AXF$. Odvěsna $AX=\frac{ a} { 2}$, druhá odvěsna $XF=b+\frac{ \sqrt{ 3} } { 2} a$. Délku přepony $AF$ zjistíme pomocí Pythagorovy věty (výsledek uvádí Milan). Dokonce ani nemusíme odmocňovat, jsou-li délky stran shodné, rovnají se i jejich druhé mocniny.

Podobně další dvě strany.

Dobrý den,

děkuji za podrobnější vysvětlení. Jenom co znamená √3:2 a.

(odmocnina ze 3) /2 se tam objeví například proto, že v cosinové větě je AF^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos 150°. Cos 150° = - cos 30°= -(odmocnina 3)/2, a protože tam je -2abcos 150°= + 2ab(odm 3)/2 , bude to kladné. Nebo se tam také objeví proto, že např. strana AF se jako přepona promítá do osy X jako odvěsna, seskládaná z délky strany b a z průmětu strany a pod úhlem 30 °, takže její část je a * cos 30°= a * (odm. 3) /2.

Rovnostranný trojúhelník se stranou $a$ má výšku $v=\frac{ \sqrt{ 3} } { 2} a$.

Dá se to odvodit pomocí Pythagorovy věty. Výška rozdělí rovnostranný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky. Jeden pravoúhlý trojúhelník má odvěsnu $\frac{ a} { 2}$ a přeponu $a$. Druhá odvěsna je právě hledaná výška.

Podle Pythagorovy věty

$v^2 + \left(\frac{ a} { 2} \right)^2=a^2$

a dále postupně

$v^2=a^2 - \frac{ a^2} { 4}$

$v^2=\frac{ 3} { 4} a^2$

odmocníme

$v=\frac{ \sqrt{ 3} } { 2} a$

Mockrát děkuji za vysvětlení.