Geometrie - 2 příklady přijímačky : Obvod, Obsah

Přeji pěkné dopoledne, Rostislave,

pro začátek je dobré všimnout si toho, že body \(P, S, R\) jsou středy stran největšího trojúhelníku \(KLM\), tedy usečky \(PR, PS, SR\) tvoří střední příčky trojúhelníku \(KLM\). Trojúhelník \(PSR\) je tudíž příčkovým trojúhelníkem trojúhelníku \(KLM\).

Jak známo, střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. To nechám bez důkazu, ale případně jej můžeme nějak dát dohromady, pokud budete chtít.

Smíme tedy prohlásit, že trojúhelníky \(KRP, PSR, LSR\) a \(PSM\) mají shodný obsah.

Analogicky postupujeme u trojúhelníku \(PSM\), jehož příčkový trojúhelník je \(QUT\).

Z uvedeného plyne, že kosodélník \(USQT\) tvoří polovinu obsahu trojúhelníku \(PSM\), tedy obsah trojúhelníku \(KPR\) bude dvakrát vyšší než součet obsahů trojúhelníků \(PUQ\) a \(QTM\).

Víme tedy, že \(S(KRP) + S(PUQ) + S(QTM) = 150\) \(mm^2\) a současně \(S(KRP) = 2 \cdot (S(PUQ) + S(QTM))\).

Snadno tedy odvodíme, že \(S(KRP) = \frac{ 2} { 3} \cdot 150 = 100\) \(mm^2\).

Z dříve zmíněných informací o příčkových trojúhelnících tedy plyne, že pro hledaný obsah platí:

\(S(RLSP) + S(USTQ) = 2 \cdot S(KRP) + \frac{ 1} { 2} \cdot S(KRP) = 250\) \(mm^2\).

Pardon, ještě druhý příklad.

Trojúhelníky jsou si podobné, tedy ke každé straně trojúhelníku \(CBD\) existuje taková strana trojúhelníku \(ABD\), že délky této dvojice stran jsou právě v poměru \(1 : k\). Trojice vnitřních úhlů jednoho trojúhelníku je také stejná jako trojice vnitřních úhlů druhého trojúhelníku.

My si z obrázku všimneme, že v poměru \(1 : k\) jsou tyto dvojice stran:

\(|BD| : |BC| = 1 : k\)

\(|AB| : |BD| = 1 : k\)

\(|AD| : |DC| = 1 : k\)

Jelikož víme, že platí \(|BD| = 4.5\) m a \(|CB| = 13.5\) m, pak můžeme odvodit následující:

\(|BD| : |BC| = 1 : k\)

\(4.5 : 13.5 = 1 : k\)

\(k = 3\)

Dále víme, že obvod trojúhelníku \(ABD\) činí \(11 \) m, tedy \(o(BCD) = k \cdot o(ABD) = 33\) m.

Z toho plyne, že \(|CD| = 15\) m, což plyne z faktu, že známe délky zbývajících stran trojúhelníku \(BCD\) o rovněž jeho obvod.

Délky stran \(AB\) a \(AD\) odvodíme z podobnosti, tedy \(|AB| = \frac{ 1} { k} \cdot |BD| = 1.5\) m a \(|AD| = \frac{ 1} { k} \cdot |CD| = 5\) m.

Zbývá jen stanovit obvod čtyřúhelníku \(ABCD\).

\(o(ABCD) = |AB| + |BC| + |CD| + |AD| = 1.5 + 13.5 + 15 + 5 = 35\) m.

Moc Vám děkujeme Tomáši za Vaši pomoc. R