Hezký integrál
Zdravím, můžete mi prosím pomoci s následujícím integrálem? Sedím u toho celý víkend - zkoušela jsem per partes i různé substituce, ale nedaří se mi nalézt řešení. Stačí mi dát stručný návod jak najít primitivní funkci, určitý integrál si ráda spočítám sama.
Zde je ta krása: ∫∞0xex−1dx∫∞0xex−1dx.
Děkuji za relevantní pomoc.
Jaroslava J.
18. 09. 2022 16:13
5 odpovědí
Detailní návod je v tomhle videu https://www.youtube.com/watch?v=Ru5tQzg6jz8
Jedná se o speciální případ Riemannovy Zeta funkce, takže se bez triků neobejdeš.
- upravíš si výraz tak, abys v čitateli dostala něco, co přípomíná Gamma funkci
- oddělíš jmenovatel a použiješ součet geometrické řady
- prohodíš integrál a sumu, což z definice Riemannova integrálu není problém
Narozdíl od videa to máš jednodušší, protože máš horní mez do nekonečna, takže ti vyjde ∑∞n=11n2∑∞n=11n2 a to je známá řada.
A u Riemannova integrálu je možné prohazovat integrál a sumu v limitním případě? My jsme to tedy měli pouze u Lebesgueova integrálu. Jinak děkuji tedy za pomoc, podobným způsobem jsem to už vyřešila. To že to je speciální případ Riemannovy Zeta funkce zatím nevím - komplexku jsem ještě neměla - jen míru a integrál a tam jsme si odvozovali součet té řady pomocí Fubiniovy věty.
V rámci R+R+ máš monotonní a omezenou funkci f(x)=11−e−xf(x)=11−e−x a posloupnost fn(x)=∑nk=0e−kxfn(x)=∑nk=0e−kx je rostoucí a absolutně konvergentní, takže máme uniformní konvergenci k ff. Potom ∫baf=∫balimn→∞fn=limn→∞∫bafn∫baf=∫balimn→∞fn=limn→∞∫bafn
Ale je fakt, že jako první mě taky napadlo, že mám omezenou funkci, takže je měřitelná a Lebesgueovsky integrovatelná, tak nemusím víc řešit. :) Ale limitní věta bude potřeba.
Ups, teď mi došlo, že vlastně integrujeme od nuly, takže omezená není, tak to s uniformní konvergencí nebude tak snadné a možná bude opravdu potřeba Lebesgue.
Musel jsem si to dohledat :) Geometrická řada na kompaktním intervalu vždycky konverguje uniformně, takže to jako argument pro prohození integrálu a sumy stačí.