Hezký integrál

Detailní návod je v tomhle videu https://www.youtube.com/watch?v=Ru5tQzg6jz8

Jedná se o speciální případ Riemannovy Zeta funkce, takže se bez triků neobejdeš.

1. upravíš si výraz tak, abys v čitateli dostala něco, co přípomíná Gamma funkci
2. oddělíš jmenovatel a použiješ součet geometrické řady
3. prohodíš integrál a sumu, což z definice Riemannova integrálu není problém

Narozdíl od videa to máš jednodušší, protože máš horní mez do nekonečna, takže ti vyjde \( \sum_{ n=1} ^{ \infty} \frac{ 1} { n^2} \) a to je známá řada.

A u Riemannova integrálu je možné prohazovat integrál a sumu v limitním případě? My jsme to tedy měli pouze u Lebesgueova integrálu. Jinak děkuji tedy za pomoc, podobným způsobem jsem to už vyřešila. To že to je speciální případ Riemannovy Zeta funkce zatím nevím - komplexku jsem ještě neměla - jen míru a integrál a tam jsme si odvozovali součet té řady pomocí Fubiniovy věty.

V rámci \( R^+ \) máš monotonní a omezenou funkci \(f(x) = \frac{ 1} { 1-e^{ -x} } \) a posloupnost \(f_n(x)=\sum_{ k=0} ^{ n} e^{ -kx} \) je rostoucí a absolutně konvergentní, takže máme uniformní konvergenci k \( f \). Potom \(\int_{ a} ^{ b} f=\int_{ a} ^{ b} \lim_{ n \to \infty} f_n=\lim_{ n \to \infty} \int_{ a} ^{ b} f_n\)

Ale je fakt, že jako první mě taky napadlo, že mám omezenou funkci, takže je měřitelná a Lebesgueovsky integrovatelná, tak nemusím víc řešit. :) Ale limitní věta bude potřeba.

Ups, teď mi došlo, že vlastně integrujeme od nuly, takže omezená není, tak to s uniformní konvergencí nebude tak snadné a možná bude opravdu potřeba Lebesgue.

Musel jsem si to dohledat :) Geometrická řada na kompaktním intervalu vždycky konverguje uniformně, takže to jako argument pro prohození integrálu a sumy stačí.