Hyperboloid - diferenciální geometrie
Uvažujme množinu S={ x²+y²-z²=1} c IR³.
- Parametrizujte užitím cosh,sinh
Jednoduché, x=cosh(u)cos(v), y=cosh(u)sin(v), z=sinh(u), u reálné, v mezi 0 a 2π.
- Spočtěte matice první a druhé fundamentální formy plochy, najděte hlavní křivosti a hlavní směry.
První forma dejme tomu, ale drugá mi vychází hnusně (jednotkový nornálový vektor nevychází nejrůžověji.
- Najděte diferenciální rovnici pro asymptotické křivky na S.
- Ověřte, že x=1, y=±t, z=±t leží na S. Jsou to asymptotické křivky?
3,4 jsou ez, ale u dvojky je výpočet poměrně hardcore a vycházejí mi blbosti.
Rudolf H.
22. 05. 2023 23:28
2 odpovědi
To je jednodílný rotační hyperboloid, poloosa b = 1, c = 1. Asymptotickými křivkami jsou všechny "površky" plochy. Hlavními křivkami jsou všechny "meridiány" a všechny "rovnoběžkové" kružnice plochy. Ty hlavní směry plochy najdete pomocí Dupinovy indikatrix ( používá se zejména v matematické kartografii ) , je buď elipsa (případně kružnice), nebo hyperbola nebo dvojice rovnoběžných přímek. V kruhovém nebo planárním bodě je každý směr plochy hlavním směrem, v ostatních případech jsou vždy dva na sebe kolmé. Výpočet z determinantu, v prvním řádku je ( du 2) ^ 2 , - du 1 du 2 , ( du 1 ) ^ 2
druhý řádek g11 , g12 , g22
třetí řádek h11 , h12 , h22
a determinant se musí rovnat nule a z toho pak vyjde vektor du i , jelikož leží v hlavním směru.
Když bude čas, podívám se.
Nakonec v pohodě, jen jsem trochu znejistěl, když norma normálového vektoru nešla hezky odmocnit, ale výpočet je i tak poměrně snadný.
Díky za odpověď.