Integrace diferenciálních forem - interpretace

Když je plochou elipsoid, tak se tím rozumí povrch elipsoidu a ten vede na tzv. eliptický integrál alias vyšší transcendentní a proto podobně jako nejde integrovat obvod elipsy, nejde integrovat povrch elipsoidu. Jedná se o tzv. vyšší transcendentní integrál a ten není vyjádřitelný konečným počtem primitivních funkcí. Takže těžko může vyjít povrch elipsoidu roven číselně ploše elipsy, může to představovat leda objem či část objemu toh elipsoidu. Obdobou plochy elipsy je objem elipsoidu a ten samozřejmě spočíst jde velmi snadno.

Takže princip výpočtu třeba objemu je ten, že se spočte obsah obrazce, jehož (toho obsahu) je číselné vyjádření stejné, jako objem útvaru nad tou plochou ve "výšce" = 1. Prostě, chceme třeba objem kvádru O = abc v m^3, pokud c = 1, tak objem = a * b * 1 = a * b m^3. To je ale současně i plocha podstavy v m^2, kde P = a * b m^2. Takže integrál dvourozměrný z 1 dxdy je fakticky objem ale ve výšce z = f(xy) = 1, proto tam je ta "jednička", ale "dělá se", že se spočetla plocha oblasti. Pokud se použije převod na polární, tak se musí ale spočíst Jacobiova matice parciálních derivací a její determinant, kterým se transformuje diferenciál dx dy pravoúhlý na kruhový či sférický ( u třírozměrného integrálu) det J * dfí dró. Ale spočíst délku oblouku elipsy či celou elipsu je stejně nemožné, jako část povrchu elipsoidu či celý. Proto také se vyšší geodesii (jen přibližně) nedají používat vztahy sférické trigonometrie, navíc geodetika není obecně ani elipsa (tak leda rovník u tříosého elipsoidu či poledník u rotačního i tříosého). Jinak objem elipsoidu je 4 / 3 Pi a^2 * b (rotační, když je v rovině rovníku) nebo 4 / 3 * pi * a * b * c (když v rovině rovníku je a, b). Zřejmě máte asi 1. a 2. diferenciální formu plochy se naučit a toto jsou kvadriky v E3 a ty se dají zapsat maticí kvadriky.

Je mi jasné, že povrch elipsoidu nespočtu. Vím i že se jedná o kvadriku. Můj dotaz spíš je, co mi to vlastně vyšlo a jestli to má nějakou interpretaci a využití.

Tak integrál může mít jakoukoliv interpretaci. Třeba i šifrovací klíč pro přečtění zprávy. Vždy záleží, co se zadá a co se výpočtem sleduje. Ale je řeč o diferenciálních formách a diferenciální formy, míněno ploch se obvykle například v matematické kartografii zejména používají pro vyjádření zobrazovacích rovnic, máme souřadnice na referenční ploše a chceme souřadnice na "jiné" ploše" s určitými vlastnostmi a k tomu slouží diferenciální formy ploch.