Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
Zdravím. Nedávno jsem se tu ptal jak vypočítat rovnici tečny a moc mi to pomohlo. Měl bych ještě dotaz, jak vyřešit tenhle případ, výpočet kdy je funkce rostoucí a klesající a lokální minimum a maximum. Případně jaký je rozdíl když chci i znát i globální minimum a maximum. Děkuji moc.
Jan N.
26. 10. 2022 12:45
2 odpovědi
Ahoj,
stejně jako u tečny ke grafu, i tady je nástrojem první derivace funkce.
Body, kde je tato derivace nulová (tečna je rovnoběžná s osou x), jsou podezřelé z toho, že se jedná o lokální extrém.
Tam, kde je první derivace záporná, míří tečna dolů a funkce tedy klesá, v místě s kladnou první derivací funkce roste.
Tím se vracíme k těm extrémům. V místě, kde se přes nulu překlápí první derivace ze záporna do kladna, je lokální minimum a v obráceném případě maximum. Pokud se derivace nuly jen "dotkne" a je na obou stranách od ní se stejným znaménkem, nejedná se o lokální extrém.
Pro zjištění globálního extrému je potřeba porovnat hodnoty funkce v nalezených lokálních extrémech. Do porovnání je navíc potřeba zahrnout i limity v obou nekonečnech.
V tomhle případě je ještě bod (x = -1), kde není funkce definována. Tam také musíme vyčíslit limity z leva a z prava, abychom správně vyhodnotili globální extrémy.
df(x)dx=((x−2)+(x−1))(x+1)2−2(x−1)(x−2)(x+1)(x+1)4=(x+1)(5x−7)(x+1)4=5x−7(x+1)3
Jmenovatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě x=−1. Čitatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě x=75.
Máme tedy −−=+ pro x<−1, −+=− pro −1<x<75 a ++=+ pro x>75
Na prvním a posledním intervalu tedy funkce roste. mezitím klesá. Bod x=75 je tedy lokálním minimem. Bod x=−1 je bodem nespojitosti funkce.
Limity:
limx→−∞f(x)=1, limx→∞f(x)=1, limx→−1−f(x)=∞=limx→−1+f(x)
f(75=−124
Vidíme tedy, že bod x=75 je globálním minimem funkce. Globální maximum funkce nemá, lokální také ne.