Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

Zdravím. Nedávno jsem se tu ptal jak vypočítat rovnici tečny a moc mi to pomohlo. Měl bych ještě dotaz, jak vyřešit tenhle případ, výpočet kdy je funkce rostoucí a klesající a lokální minimum a maximum. Případně jaký je rozdíl když chci i znát i globální minimum a maximum. Děkuji moc.

Příloha k dotazu

Obtížnost: Vysoká škola
Kategorie: Funkce
Jan N.

Jan N.

26. 10. 2022   12:45

2 odpovědi

Jan Z.
Jan Z.
26.10.2022 15:10:34

Ahoj,

stejně jako u tečny ke grafu, i tady je nástrojem první derivace funkce.

Body, kde je tato derivace nulová (tečna je rovnoběžná s osou x), jsou podezřelé z toho, že se jedná o lokální extrém.

Tam, kde je první derivace záporná, míří tečna dolů a funkce tedy klesá, v místě s kladnou první derivací funkce roste.

Tím se vracíme k těm extrémům. V místě, kde se přes nulu překlápí první derivace ze záporna do kladna, je lokální minimum a v obráceném případě maximum. Pokud se derivace nuly jen "dotkne" a je na obou stranách od ní se stejným znaménkem, nejedná se o lokální extrém.

Pro zjištění globálního extrému je potřeba porovnat hodnoty funkce v nalezených lokálních extrémech. Do porovnání je navíc potřeba zahrnout i limity v obou nekonečnech.

Jan Z.
Jan Z.
26.10.2022 15:39:13

V tomhle případě je ještě bod (x = -1), kde není funkce definována. Tam také musíme vyčíslit limity z leva a z prava, abychom správně vyhodnotili globální extrémy.

df(x)dx=((x2)+(x1))(x+1)22(x1)(x2)(x+1)(x+1)4=(x+1)(5x7)(x+1)4=5x7(x+1)3

Jmenovatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě x=1. Čitatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě x=75.

Máme tedy =+ pro x<1, += pro 1<x<75 a ++=+ pro x>75

Na prvním a posledním intervalu tedy funkce roste. mezitím klesá. Bod x=75 je tedy lokálním minimem. Bod x=1 je bodem nespojitosti funkce.

Limity:

limxf(x)=1, limxf(x)=1, limx1f(x)==limx1+f(x)

f(75=124

Vidíme tedy, že bod x=75 je globálním minimem funkce. Globální maximum funkce nemá, lokální také ne.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.