Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

Ahoj,

stejně jako u tečny ke grafu, i tady je nástrojem první derivace funkce.

Body, kde je tato derivace nulová (tečna je rovnoběžná s osou x), jsou podezřelé z toho, že se jedná o lokální extrém.

Tam, kde je první derivace záporná, míří tečna dolů a funkce tedy klesá, v místě s kladnou první derivací funkce roste.

Tím se vracíme k těm extrémům. V místě, kde se přes nulu překlápí první derivace ze záporna do kladna, je lokální minimum a v obráceném případě maximum. Pokud se derivace nuly jen "dotkne" a je na obou stranách od ní se stejným znaménkem, nejedná se o lokální extrém.

Pro zjištění globálního extrému je potřeba porovnat hodnoty funkce v nalezených lokálních extrémech. Do porovnání je navíc potřeba zahrnout i limity v obou nekonečnech.

V tomhle případě je ještě bod (x = -1), kde není funkce definována. Tam také musíme vyčíslit limity z leva a z prava, abychom správně vyhodnotili globální extrémy.

\(\frac{ df(x)} { dx} = \frac{ \left(\left(x-2\right) + \left(x-1\right)\right)\left(x+1\right)^2 - 2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)} { \left(x+1\right)^4} = \frac{ \left(x+1\right)\left(5x-7\right)} { \left(x+1\right)^4} = \frac{ 5x-7} { \left(x+1\right)^3} \)

Jmenovatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě \(x = -1\). Čitatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě \(x = \frac{ 7} { 5} \).

Máme tedy \(\frac{ -} { -} = +\) pro \(x< -1\), \(\frac{ -} { +} = -\) pro \(-1 < x < \frac{ 7} { 5} \) a \(\frac{ +} { +} = +\) pro \(x > \frac{ 7} { 5} \)

Na prvním a posledním intervalu tedy funkce roste. mezitím klesá. Bod \(x = \frac{ 7} { 5} \) je tedy lokálním minimem. Bod \(x = -1\) je bodem nespojitosti funkce.

Limity:

\( \lim_{ x\to -\infty} f(x) = 1\), \(\lim_{ x \to \infty} f(x) = 1\), \(lim_{ x \to -1^-} f(x) = \infty = \lim_{ x \to -1^+} f(x)\)

\(f(\frac{ 7} { 5} = -\frac{ 1} { 24} \)

Vidíme tedy, že bod \(x = \frac{ 7} { 5} \) je globálním minimem funkce. Globální maximum funkce nemá, lokální také ne.