Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
Zdravím. Nedávno jsem se tu ptal jak vypočítat rovnici tečny a moc mi to pomohlo. Měl bych ještě dotaz, jak vyřešit tenhle případ, výpočet kdy je funkce rostoucí a klesající a lokální minimum a maximum. Případně jaký je rozdíl když chci i znát i globální minimum a maximum. Děkuji moc.
Jan N.
26. 10. 2022 12:45
2 odpovědi
Ahoj,
stejně jako u tečny ke grafu, i tady je nástrojem první derivace funkce.
Body, kde je tato derivace nulová (tečna je rovnoběžná s osou x), jsou podezřelé z toho, že se jedná o lokální extrém.
Tam, kde je první derivace záporná, míří tečna dolů a funkce tedy klesá, v místě s kladnou první derivací funkce roste.
Tím se vracíme k těm extrémům. V místě, kde se přes nulu překlápí první derivace ze záporna do kladna, je lokální minimum a v obráceném případě maximum. Pokud se derivace nuly jen "dotkne" a je na obou stranách od ní se stejným znaménkem, nejedná se o lokální extrém.
Pro zjištění globálního extrému je potřeba porovnat hodnoty funkce v nalezených lokálních extrémech. Do porovnání je navíc potřeba zahrnout i limity v obou nekonečnech.
V tomhle případě je ještě bod (x = -1), kde není funkce definována. Tam také musíme vyčíslit limity z leva a z prava, abychom správně vyhodnotili globální extrémy.
Jmenovatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě . Čitatel mění znaménko ze záporného na kladné v bodě .
Máme tedy pro , pro a pro
Na prvním a posledním intervalu tedy funkce roste. mezitím klesá. Bod je tedy lokálním minimem. Bod je bodem nespojitosti funkce.
Limity:
, ,
Vidíme tedy, že bod je globálním minimem funkce. Globální maximum funkce nemá, lokální také ne.