Konstrukce pravoúhlého trojúhelníku

Zdravím. Zasekl jsem se na úloze, kde je dána délka BC a máme sestrojit pravoúhlý trojúhelník ABC, tedy najít vrchol A. Vztahy mezi prvky trojúhelníku a pomocnými prvky jsou jasné z obrázku (pro upřesnění: patou výšky Vc procházejí kružnice se středem v průsečíku výšek kosočtverce a taky přímka rovnoběžná se stranou AC). Uvítám každý nápad ...a pokud konstrukce není eukleidovsky řešitelná, pak jak to lze prokázat.


Obtížnost: Střední škola
Kategorie: Geometrie
Petr F.

Petr F.

15. 07. 2021   12:56

5 odpovědí

Petr F.
Petr F.
15.07.2021 19:35:17

OPRAVA: ...patou výšky Vc prochází kružnice se středem v průsečíku UHLOPŘÍČEK kosočtverce... (na obrázku je to správně)

Jan Z.
Jan Z.
16.07.2021 11:26:36

Pro upřesnění... ty fialové úseky jsou všechny stejně dlouhé?

Souhlasí: 1    
Jan Z.
Jan Z.
16.07.2021 11:54:33

Šel jsem na to výpočtem a dostal jsem následující:

\(c_b = a \) - z obrázku

\(v^2 + c_a^2 = a^2\)

\(v^2 + a^2 = b^2 = ca = a(a+c_a) = a^2 + ac_a\)

Z toho dostaneme

\(v^2 = ac_a\) a \(v^2 = a^2 - c_a^2\)

Tedy

\(a^2 - ac_a - c_a^2 = 0\)

\(a = c_a\frac{ 1+\sqrt{ 5} } { 2} \)

Tedy

\(\frac{ a} { c_a} = \frac{ 1+\sqrt{ 5} } { 2} \)

Vzhledem k tomu, že

\(a^2 = cc_a\) tak taky \(\frac{ a} { c_c} = \frac{ c} { a} \)

takže

\(\frac{ c} { a} = \frac{ 1+\sqrt{ 5} } { 2} \)

Poměr stran trojúhelníku tedy tvoří zlatý řez. Teď zbývá vyřešit, jestli jsme tenhle poměr schopni zkonstruovat.

Doufám, že jsem někde neudělal chybku.

Souhlasí: 1    
Jan Z.
Jan Z.
16.07.2021 11:57:50
Petr F.
Petr F.
16.07.2021 20:30:29

Děkuju. Rozhodně zlatý řez, měl jsem z těch proporcí zvláštní pocit ...stačilo si změřit strany.

Pro napsání komentáře se musíte přihlásit.