Matematika

Ahoj,

obsah kruhu je \( S=\pi r^2 \), obsah pravidelného osmiúhelníku označím \( S_8 \). Obsah červeně vybarvené části je \( S-S_8 \). Chceme zjistit, jaká část kruhu je vybarvena, tedy podíl obsahu červené části a obsahu celého kruhu, neboli

\( \displaystyle\quad\frac{ S-S_8} { S} \),

což převedeme na procenta vynásobením 100.

Obsah pravidelného osmiúhelníku vypočítáme takto: Rozdělíme jej na 8 shodných trojúhelníků. Obsah jednoho z nich je

\( \quad S_1= \frac{ 1} { 2} av_a\).

Stranu \( a \) i výšku \( v_a \) potřebujeme vyjádřit pomocí poloměru kružnice opsané \( r \). Úhel \( \alpha \) snadno dopočítáme z obrázku. Např.

\( \displaystyle\quad\sin\alpha= \frac{ a} { 2r} \quad\Rightarrow\quad a=2r\sin\alpha\),

(podobně \( v_a \)).

Dosadíme do vzorce pro obsah trojúhelníku \( S_1\).

Obsah osmiúhelníku je \( S_8=8\cdot S_1\).

Nakonec dosadíme do výrazu

\( \displaystyle\quad\frac{ S-S_8} { S} \).

Výsledek ještě můžeme upravit pomocí goniometrického vzorce pro \( \sin 2\alpha \). Když vyjádříme úhel v radiánech, vyjde docela zajímavý výraz. Číselně mi vychází přibližně 10 % (přesněji 9,97 %).

Dobrý den, Miroslav,

Děkuji moc za odpověď. Počítám už to potřetí a výsledek mi vychází 16,9%.

Tak prosím kontroluj, jestli to mám dobře (nebo můžeš vložit ofocený postup):

\(\quad\displaystyle\sin\alpha=\frac{ \frac{ a} { 2} } { r} \quad\Rightarrow\quad a=2r\sin\alpha\)

\(\quad\displaystyle\cos\alpha=\frac{ v_a} { r} \quad\Rightarrow\quad v_a=r\cos\alpha\)

Obsah trojúhelníku

\(\quad\displaystyle S_1=\frac{ 1} { 2} av_a=\frac{ 1} { 2} (2r\sin\alpha)(r\cos\alpha)=r^2\sin\alpha\cos\alpha\)

Obsah osmiúhelníku

\( \quad S_8=8\cdot S_1= 8r^2\sin\alpha\cos\alpha\)

Z goniometrie je známý vzorec (v tabulkách)

\( \quad 2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha \)

tedy obsah osmiúhelníku je

\( \quad S_8 = 4r^2\cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)=4r^2\sin 2\alpha\)

Z obrázku: \( \alpha=(360^\circ/8)/2=22.5^\circ\), tedy

\( \displaystyle\quad S_8 = 4r^2\sin 45^\circ=4r^2\frac{ \sqrt{ 2} } { 2} \)

Nyní stačí dosadit do výrazu

\(\quad\displaystyle\frac{ S-S_8} { S} \)

za obsah kruhu \(S=\pi r^2\) a za obsah osmiúhelníku.

A když víme, že poloměr kružnice opsané je 7,5 cm, tak šlo by to vypočítat jinak?

Výsledek této úlohy nezáleží na tom, jaký je poloměr (\( r \) se nakonec zkrátí). Ať bude obrázek větší nebo menší, poměr obsahu červené části k obsahu celého kruhu bude vždy stejný. Proto si můžeme zvolit třeba \( r=1 \), ovšem je to dobré zapsat do řešení. Vyšlo to, popř. co není jasné? Můžu doplnit poslední úpravy.

Vyšlo mi 0,316 a jak teďka mám z tohoto čísla vyjádřit kolik to je procent?

Za r jsem dosazovala 1.

Číslo 0,316 je obsah červené části. Potřebujeme zjistit, jaká část kruhu je vybarvená, tj. obsah červené části vydělit obsahem celého kruhu: 0,316/3,14 = 0,10 (přibližně desetina), po násobení stem máme 10 %.

Např. "1 jablko z 5 je červené" můžeme napsat jako 1/5. Podobně zde dáme do čitatele obsah červené části (0,316) a do jmenovatele obsah celého kruhu (3,14).

Můžeme použít i trojčlenku: 100 % ... 3,14 (celý kruh), x % ... 0,316 (červená část).

Děkuji moc