Matematika Mřížový čtyřúhelník

Dobrý den,

obdélník má obsah 12 čtverečků.

A) Označme obsah malého trojúhelníku \( m \), velkého \( t \) a obsah čtyřúhelníku \( c \). Dohromady \( m+t+c=12 \).

Obsah menšího trojúhelníku tvoří 12,5 % obdélníku (12,5 % ze 12), tj. \( m=1{ ,} 5 \) čtverečku. Můžeme jej zakreslit jako pravoúhlý trojúhelník se stranami 1 a 3 tak, že stranu délky 3 umístíme jako kratší stranu obdélníku. Obsah tohoto trojúhelníku je \( (1\cdot3)/2 =1{ ,} 5\).

Obsah velkého trojúhelníku je aritmetický průměr obsahu malého trojúhelníku a čtyřúhelníku, tedy \( t=(m+c)/2\). Dále máme rovnici \( m+t+c=12 \). Do těchto rovnic dosadíme za \( m \) a získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých \( t, c \).

Obsah velkého trojúhelníku vychází \( t=4 \) čtverečky. Jeho obsah je \( (a\cdot v)/2=4 \). Zkusíme např. výšku \( v=3 \) a dopočítáme základnu \( a \). Tento trojúhelník může sousedit s malým trojúhelníkem.

Zbytek obdélníku vyplní hledaný čtyřúhelník. Bude-li třeba, rád nakreslím obrázek.

Úlohu B jsem zatím nezkoušel.

Dobrý den, došlo mi, že všechny tři obrazce mají být v čtvercové mřížce, tj. s vrcholy ve vrcholech čtverečků, proto druhý trojúhelník je potřeba umístit podle obrázku (výpočty obsahů jsou správně).

B) Označme obsah menšího trojúhelníku \( x \) čtverečků. Větší trojúhelník má obsah \( x+0{ ,} 5 \) čtverečku.

Obsah čtyřúhelníku se má lišit od obsahu jednoho z trojúhelníků o 1/2 čtverečku, což může být \( x, x+1, x+ 0{ ,} 5\) nebo \( x- 0{ ,} 5\). Součet obsahů obou trojúhelníků a čtyřúhelníku je 12. Můžeme tedy zapsat čtyři rovnice. Vybereme takové výsledky (obsahy), aby se podařilo trojúhelníky zakreslit do čtvercové mřížky.

Jednou z možností je obsah čtyřúhelníku \( x- 0{ ,} 5\). Součet obsahů dvou trojúhelníků a čtyřúhelníku je \( x + (x + 0{ ,} 5)+ (x -0{ ,} 5)=12 \), odtud \( x=4 \). Menší trojúhelník má obsah 4 čtverečky, větší 4,5 čtverečku, čtyřúhelník 3,5 čtverečku. Toto řešení je na obrázku.

Myslím, že schůdné je nejméně ještě jedno další řešení.

Moc děkuju