Nadrovina v afinním prostoru

Dobrý večer. Pro dokázání této věty, můžeme použít následující postup:

Definujme afinní prostor jako vektorový prostor V nad komutativním krokem K s definovanou afinní operací.

Definujme podprostor jako podmnožinu vektorového prostoru, která splňuje podmínky být vektorovým prostorem sama o sobě.

Pokud by existoval podprostor W, který by byl mimoběžný s nadrovnou, pak by existoval vektor v, který by nebyl ve W, ale ležel na nadrovně.

Nicméně, jakýkoli vektor v na nadrovně je vektorovým součtem vektorů v ležících v W a vektoru ležícího na normále k W. Tato normála k W musí být ve V, protože W je podprostorem V.

Proto, jakýkoli vektor v na nadrovně je vektorovým součtem vektorů v W, což znamená, že nadrovna nemůže být mimoběžná s žádným podprostorem.

Z toho vyplývá, že tvrzení "nadrovina v afinním prostoru nemůže být mimoběžná s žádným podprostorem" je platné.

S tímto postupem a argumentací jsme dokázali že nadrovina v afinním prostoru nemůže být mimoběžná s žádným podprostorem.

Já bych si možná potřeboval ujasnit pojmy. Berme jako afinní prostor \(\mathbb{ A} _2\) plochu, danou běžnými kartézskými souřadnicemi. Její nadrovinou může být například přímka \(y=3\), tedy podprostor dimenze 1. A jiným podprostorem je například bod [0,0], tedy podprostor dimenze 0. Jakým výrazem se popisuje vzájemná poloha zmíněné přímky a bodu?

Odpověď na mou otázku výše mi připadá trochu podivná, ale dle definice, pokud zaměření jednoho podprostoru je podprostorem zaměření druhého, jsou tyto rovnoběžné. Nulový vektor je podprostorem onoho vektorového prostoru přímky, takže tak...

Co se týká samotné otázky, formulaci ti nenapíšu, ale ta od Vladislava mi přijde dost kostrbatá, tak jsem vytáhnul pár věcí ze skript, které by tě mohly navést na správnou cestu k řešení:

Dva různé neprázdné podprostory \( B_k = \langle B, V_k\rangle, C_l = \langle C, V_l\rangle \) prostoru \( A_n = \langle A, V_n\rangle \) dávají vznik dalším dvěma podprostorům, z nichž jeden nazveme průnik \(B_k ∩ C_l\) podprostorů \(B_k\) a \(C_l\) a druhý spojením \(B_k ∨ C_l\) podprostorů \(B_k\) a \(C_l\).

Stanovit nositelku a zaměření prostoru \(B_k ∨ C_l\) není tak jednoduché jako u prostoru \(B_k ∩ C_l\). Rozhodující je, zda \(B ∩ C ≠ ∅\) , nebo \(B ∩ C = ∅\) . Spojení dvou různých bodů je přímka, tří různých bodů neležících v přímce je rovina, dvou různoběžných (rovnoběžných nesplývajících) přímek je rovina.

Z uvedených vztahů je možno odvodit, že je-li jedním podprostorem nadrovina, pak žádný jiný podprostor s ní nemůže být mimoběžný.

Dva disjunktní podprostory \( B_k, C_l\) afinního prostoru \(A_n\) jsou rovnoběžné nebo mimoběžné právě tehdy, je-li \(dim(B_k ∨ C_l ) = dim(V_k ∨ V_l) + 1\)

Jsou-li \(B_k, C_l\) dva různoběžné podprostory afinního prostoru \(A_n\), platí:

\(dim B_k + dim C_l = dim(B_k ∩ C_l) + dim(B_k ∨ C_l)\)

Dobrý den,

děkuji Vám oběma za vysvětlení.

Mějte se pěkně