Racionální lomenou funkci rozložte na parciální zlomky
\(\frac{ 2x^2-1} { x^6+1} \) Tuto lomenou funkci mám rozložit na parciální zlomky.
Můj postup:
\(\frac{ 2x^2-1} { x^6+1} \) =
\(\frac{ 2x^2-1} { (x^2+1)(x^4-x^2+1)} \)
Chci se zeptat, jakým způsobem mám pokračovat, protože pokud počítám dobře, tak \(x^4-x^2+1\) se už dále nedá rozložit. Budu rád, pokud mi někdo vysvětlí správný postup. Děkuji,
Zbyněk
Zbyněk D.
03. 12. 2023 17:07
11 odpovědí
Dále je třeba vydělit ( 2 * x ^2 - 1 ) výrazem ( x ^ 2 + 1 ) a dostanete dva zlomky : ( 2 / ( x^4 - x ^2 + 1) ) - ( 3 / ( ( x ^ 2 + 1 ) * ( x^4 - x ^2 + 1) ) )
Viz níže další:
\( x^4 - x^2 +1 \) sice nejde rozložit na reálné lineární členy, ale musí to jít rozložit na součin dvou reálných kvadratických trojčlenů. Bud to jde trikem upravit a vyuzit vzorce, tady bude fungovat plus minus \( 3x^2 \), nebo to rozložit v komplexnich cislech a pak vhodne roznasobit, abychom dostali ty dva realne kvadraticke trojcleny.
Dva se po sloučení vyruší a nakonec zbyde
( x ^2 / ( x ^ 4 - x ^ 2 + 1) ) - ( 1 / ( x ^2 + 1) )
Ale \( x ^ 4 - x ^ 2 + 1 \) lze jeste rozlozit na soucin dvou kvadratickych realnych polynomu. Pokud vim, tak parcialni zlomky slouzi hlavne k integraci - a nevím, jak bych rovnou integroval \( x ^2 / ( x ^ 4 - x ^ 2 + 1) \).
Tak vždycky účelně podle okolností, tak můžete je rozložit, tolik možností asi není, všechno je tam jen 1 *
\( x^4 - x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 3x^2 = (x^2+1)^2 - 3x^2 =(x^2+1+\sqrt{ 3} x)(x^2+1-\sqrt{ 3} x)\)
Nevím proč, ale nejde mi sem poslat fotka s postupem. Navazoval jsem na to, co sem poslal pan Milan K.
Výsledek mi vyšel: -\(\frac{ 1} { x^2+1} \)+\(\frac{ x^2} { x^4-x^2+1} \)
Dobré, teď to jen zintegrovat
Tady jsem kdyztak nasel web na rozklad na parc. zlomky i s postupem: https://www.emathhelp.net/en/calculators/algebra-2…
Děkuji moc oběma za reakci a odpovědi.