Trojný integrál

Tady je druhý.

To druhé je koule o poloměru 3 a středu v počátku XYZ a z ní se rovinou z = - 1 a z = 2 odstraní kulový vrchlík (dolní a horní) a navíc se použije jen ta část, co je v prvním kvadrantu tedy fakticky 1. oktantu (nad půdorysnou a pod půdorysnou) a objem celé koule je 36 pi a to co se odstraní "nahoře" dělá 28 / 3 pi a část "dole" 8 / 3 pi , celkem 12 pi a co zbyde, tak z toho 1/4 , čili zbyde 36 pi - 12 pi = 24 pi a z toho 1/4 (jsme v prvním kvadrantu nad a pod půdorysnou, čili jedna čtvrtina z objemu ) dá 6 pi . Ale musíte si to přepsat do sférických souřadnic, jinak s pravoúhlými to není příliš zábavné, jde to i jednorozměrným integrálem i dvourozměrným.

To první je eliptický paraboloid a výšku má z = 3. Ale je lepší to přepsat do cylindrických souřadnic, opět s pravoúhlými to není "zábavné". A zase, pro kontrolu si to můžete přepočíst jednorozměrným i dvourozměrným integrálem. Obojí jsou regulární kvadriky. Singulární kvadriky jsou plochy válcové a kuželové a dvojice rovin.

Obojí základní substituce.

U jedničky zobecněné válcové souřadnice

\( x=\cos(\varphi), y=\sin(\varphi)/2, z=t \)

U druhého dokonce stačí normální sférické souřadnice.