Určitý integrál, metoda per partes

Metoda per-partes vychází z toho, jak se derivuje součin, tedy

\(\frac{ d} { dx} (f(x)\cdot g(x)) = \frac{ d} { dx} f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot \frac{ d} { dx} (g(x))\)

Použijeme to tak, že

\(\int f'(x) g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\) dx \)

Vybíráme většinou podle toho, co z dvojice umíme snadno integrovat. Tady umíme integrovat \(2x\) (dvojku si tu z praktických důvodů necháme, i když by se dala šoupnout před integrál. Budeme tedy mít

\( f'(x) = 2x \) a \( g(x) = \arctan(x)\)

Dále se v postupu využije ještě to, že

\( \int(f'(g(x)) \cdot g'(x) dx = f(g(x)) + c\)

Zkuste již dopočítat sama. Doufám, že jsem někde neudělal chybu, ale výsledek by měl být

\(\int_0^1 2x \cdot \arctan(x) dx = \frac{ \pi} { 4} - \ln 2\)

Metoda per partes

\( \int uv'=uv-\int u'v \)

\( u=\arctan x,\quad v' =2x \)

\( u' =\frac{ 1} { 1+x^2} , \quad\quad v=x^2 \)

\( \int 2x\arctan (x) dx = x^2 \arctan (x) - \int\frac{ x^2} { 1+x^2} dx \)

druhý integrál

\( \int\frac{ x^2} { 1+x^2} dx = \int\frac{ x^2+1-1} { x^2+1} dx=\int\left(1-\frac{ 1} { x^2+1} \right) dx = x - \arctan (x)\)

celkem

\( \int 2x\arctan (x) dx = x^2 \arctan (x) - x + \arctan (x)=(x^2+1)\arctan(x)-x \)

číselně https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+2x*arctan…