Určitý integrál, metoda per partes

Metoda per-partes vychází z toho, jak se derivuje součin, tedy

$\frac{ d} { dx} (f(x)\cdot g(x)) = \frac{ d} { dx} f(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot \frac{ d} { dx} (g(x))$

Použijeme to tak, že

$\int f'(x) g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)$ dx \)

Vybíráme většinou podle toho, co z dvojice umíme snadno integrovat. Tady umíme integrovat $2x$ (dvojku si tu z praktických důvodů necháme, i když by se dala šoupnout před integrál. Budeme tedy mít

$f'(x) = 2x$ a $g(x) = \arctan(x)$

Dále se v postupu využije ještě to, že

$\int(f'(g(x)) \cdot g'(x) dx = f(g(x)) + c$

Zkuste již dopočítat sama. Doufám, že jsem někde neudělal chybu, ale výsledek by měl být

$\int_0^1 2x \cdot \arctan(x) dx = \frac{ \pi} { 4} - \ln 2$

Metoda per partes

$\int uv'=uv-\int u'v$

$u=\arctan x,\quad v' =2x$

$u' =\frac{ 1} { 1+x^2} , \quad\quad v=x^2$

$\int 2x\arctan (x) dx = x^2 \arctan (x) - \int\frac{ x^2} { 1+x^2} dx$

druhý integrál

$\int\frac{ x^2} { 1+x^2} dx = \int\frac{ x^2+1-1} { x^2+1} dx=\int\left(1-\frac{ 1} { x^2+1} \right) dx = x - \arctan (x)$

celkem

$\int 2x\arctan (x) dx = x^2 \arctan (x) - x + \arctan (x)=(x^2+1)\arctan(x)-x$

číselně https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+2x*arctan…