Vyšetřování průběhu funkce

Ahoj, níže návod k jednotlivým krokům...

1. Definiční obor: Podívej se, jestli jsou hodnoty, pro které zadaná funkce nedává smysl. Ty musíme vyříznout z oboru reálných čísel a zbytek je to, co hledáme.

Funkce je sudá, pokud platí $f(x) = f(-x)$, obdobně pro lichost - $f(x) = -f(-x)$. Dosaď si do funkce $-x$ a zkus dostat výraz podobný/shodný s původní funkcí.

Periodičnost - Existuje $p$ takové, že $f(x+p) = f(x)$. Napiš si tuto rovnici a zkus najít takové $p$. Pokud neexistuje, periodická není, pokud existuje, znáš rovnou i periodu.

2. Body, kde není definovaná - tedy čísla, která funkce neschroupe. Tedy pokračování hledání definičního oboru. Výpočet limity je na zvláštní kapitolu. Nevlastní body jsou $\pm\infty$.

Intervaly spojitosti pak dostaneš tak, že vezmeš intervaly, kde můžeš funkci přímo vyčíslit a potom vyřešíš hranice těchto intervalů - pokud v daném bodě existuje konečná limita, je v takovém bodě funkce spojitá zleva či zprava, podle toho, ze které strany do něj přicházím z intervalu.

3. Průsečík s osou $x$ dostaneš tak, že za $y$ dosadíš nulu a vyřešíš. Průsečík s osou $y$ tak, že dosadíš nulu za $x$.

Když mám průsečíky s osou x, vyšetřím intervaly mezi nimi - jestli je tam funkce kladná, nebo záporná. Stačí jeden bod z každého intervalu.

4. Zderivuj funkci a postupuj jako v bodech 1-3 pro výsledek.

5. Lokální extrémy jsou v bodech, kde je první derivace nulová (a druhá derivace nenulová). Záporná druhá derivace znamená maximum, kladná minimum.

Funkce je monotónní na intervalu, kde první derivace nemění znaménko.

6. Vypočtu derivaci derivace a postupuju podle bodů 1-3.

7. Inflexní bod je bod, kde je druhá derivace nulová a mění znaménko. Funkce je konvexní na intervalu, kde je druhá derivace kladná, konkávní tam, kde je druhá derivace záporná.

8. Pokud mám body, kde není funkce definovaná a má v tomto bodě limitu zleva či zprava nekonečnou, je funkce $x = k$ její asymptotou. Pokud je funkce směrem do nekonečna monotónní a má konečnou limitu, pak je její asymptotou rovnoběžka s osou $x$ ve výšce odpovídající té limitě.

9. Když dostanu lokální i globální minima a maxima, můžu pro spojitou funkci říct, že obor hodnot odpovídá intervalu mezi nimi.

10. Mám průsečíky s osami, minima a maxima, intervaly, kde roste a klesá, intervaly, kde je konvexní (tvar U) a konkávní (tvar A), limity v nekonečnu, tak můžu kreslit čáru, co tomu odpovídá a spojuje zjištěné body.

Tady konkrétní řešení

Díky moc za odpovědi, zachránili jste mi p*del (doslova) a připuštění k maturitě :)