Vyšetřování průběhu funkce
Dobrý den, mám funkci \(y={ x} ^{ 4} -2{ x} ^{ 3} +5\), a potřebuji vyřešit tyto požadavky:
-
Definiční obor, sudost, lichost, periodičnost
-
body, kde není funkce definována, výpočet limit v těchto bodech zprava a zleva, limity v nevlastních bodech a intervaly spojitosti
-
průsečíky s osami a znaménka funkčních hodnot
-
výpočet 1. derivace, určení nulových bodů a bodů, kde není definována 1. derivace
-
lokální extrémy a intervaly monotónnosti
-
výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a určení bodů, kde není definována 2. derivace
-
konvexnost, konkávnost a inflexní body
-
asymptoty
-
obor hodnot
-
graf funkce
Budu velmi rád, když se najde někdo, kdo mi s tímto pomůže.
Filip ..
16. 03. 2022 17:59
3 odpovědi
Ahoj, níže návod k jednotlivým krokům...
- Definiční obor: Podívej se, jestli jsou hodnoty, pro které zadaná funkce nedává smysl. Ty musíme vyříznout z oboru reálných čísel a zbytek je to, co hledáme.
Funkce je sudá, pokud platí \(f(x) = f(-x)\), obdobně pro lichost - \(f(x) = -f(-x)\). Dosaď si do funkce \(-x\) a zkus dostat výraz podobný/shodný s původní funkcí.
Periodičnost - Existuje \(p\) takové, že \(f(x+p) = f(x)\). Napiš si tuto rovnici a zkus najít takové \(p\). Pokud neexistuje, periodická není, pokud existuje, znáš rovnou i periodu.
- Body, kde není definovaná - tedy čísla, která funkce neschroupe. Tedy pokračování hledání definičního oboru. Výpočet limity je na zvláštní kapitolu. Nevlastní body jsou \(\pm\infty\).
Intervaly spojitosti pak dostaneš tak, že vezmeš intervaly, kde můžeš funkci přímo vyčíslit a potom vyřešíš hranice těchto intervalů - pokud v daném bodě existuje konečná limita, je v takovém bodě funkce spojitá zleva či zprava, podle toho, ze které strany do něj přicházím z intervalu.
- Průsečík s osou \(x\) dostaneš tak, že za \(y\) dosadíš nulu a vyřešíš. Průsečík s osou \(y\) tak, že dosadíš nulu za \(x\).
Když mám průsečíky s osou x, vyšetřím intervaly mezi nimi - jestli je tam funkce kladná, nebo záporná. Stačí jeden bod z každého intervalu.
-
Zderivuj funkci a postupuj jako v bodech 1-3 pro výsledek.
-
Lokální extrémy jsou v bodech, kde je první derivace nulová (a druhá derivace nenulová). Záporná druhá derivace znamená maximum, kladná minimum.
Funkce je monotónní na intervalu, kde první derivace nemění znaménko.
-
Vypočtu derivaci derivace a postupuju podle bodů 1-3.
-
Inflexní bod je bod, kde je druhá derivace nulová a mění znaménko. Funkce je konvexní na intervalu, kde je druhá derivace kladná, konkávní tam, kde je druhá derivace záporná.
-
Pokud mám body, kde není funkce definovaná a má v tomto bodě limitu zleva či zprava nekonečnou, je funkce \(x = k\) její asymptotou. Pokud je funkce směrem do nekonečna monotónní a má konečnou limitu, pak je její asymptotou rovnoběžka s osou \(x\) ve výšce odpovídající té limitě.
-
Když dostanu lokální i globální minima a maxima, můžu pro spojitou funkci říct, že obor hodnot odpovídá intervalu mezi nimi.
-
Mám průsečíky s osami, minima a maxima, intervaly, kde roste a klesá, intervaly, kde je konvexní (tvar U) a konkávní (tvar A), limity v nekonečnu, tak můžu kreslit čáru, co tomu odpovídá a spojuje zjištěné body.
Tady konkrétní řešení
Díky moc za odpovědi, zachránili jste mi p*del (doslova) a připuštění k maturitě :)