Souřadné soustavy

K čemu potřebujeme souřadné soustavy

Oproti klasické geometrii, kde nezáleží na tom, kde jsou objekty umístěny v rovině, popřípadě v prostoru, záleží v analytické geometrii i na konkrétním umístění zkoumaných objektů. K tomu abychom mohli říci, kde se který objekt nachází, zavádíme tzv. souřadné soustavy.

Co je to souřadná soustava

Obecně lze říci, že souřadná soustava je to, co nám umožní jednoznačně říci, kde se daný objekt nachází, jak je velký, jak je vzdálený od ostatních objektů atp.

Jaké jsou souřadné soustavy

Souřadnicových soustav je samozřejmě celá řada, jako například:

• sférická (kulová)
• cylindrická (válcová)
• rovníková
• ...

Ty nejpoužívanější jsou však v podstatě dvě:

1. Kartézská soustava
2. Polární soustava

Kartézská souřadná soustava

Kartézská souřadná soustava je tvořena dvěmi, na sebe nevzájem kolmými, osami \(x\) a \(y\), které se protínají v bodě \(0\), který nazýváme počátek. Dále je na osách určena základní jednotka délky. Další body na ose dostaneme jako násobek této jednotky. Bod A je v Kartézské soustavě určen souřadnicemi \(x\) a \(y\), což zapíšeme jako \(A = [A_x; A_y]\).

2. Polární souřadnicová soustava

Polární souřadnicová soustava je tvořena polopřímkou \(x\) s počátkem \(O\). Poloha bodu \(A\) je určena vzáleností \(r\) bodu \(A\) od počátku \(O\) a úhlem \(\varphi\).

Můžeme tedy psát, že poloha bodu \(A\) v polárních souřadnicích je \(A = [r; \varphi]\).

Další informace

Kvadranty

Povšimněme si, že Kartézská soustava souřadnic rozděluje rovinu na čtyři části zvané kvadranty. Kvadranty máme tedy čtyři a určujeme je podle následujícího schématu.

Nepravoúhlé souřadnice

Někdy nemusí být zavedení pravoúhlých Kartézských souřadnic zrovna výhodné, a tak je možné zavést souřadnice, tzv. kosoúhlé, které vypadají např. takto:

Opět i zde zavadíme základní jednotku délky, i zde označíme průsečík souřadnicových os jako počátek \(0\). Na co si však musíme při odečítání souřadnicových hodnot dát pozor je to, že souřadnice se neodečítají na kolmici jako u pravoúhlých Kartézských souřadnic, ale tak, že bodem \(A\) vždy vedeme rovnoběžku se souřadnicovou osou. Poté průsečík této rovnoběžky s druhou osou je hledaná souřadnice.

Měřítko

Měřítko je délka základní jednotky. Jakmile zvolíme na jedné ose jednotku je třeba se jí držet, avšak jednotky mohou být na různých osách různě dlouhé tj. jiná na ose \(x\) a jiná na ose \(y\).

Pokud však zobrazíme nějaký útvar do souřadné soustavy takové, že na obou osách je jiné měřítko může se stát, že obraz bude zkreslený.